基本例題100 放射性崩壊

設問(1)(2)　陽子数・中性子数、PbとBiの原子番号・質量数

直感的理解
$\alpha$ 崩壊では質量数が4、原子番号が2減ります。$\beta$ 崩壊では質量数は変わらず原子番号が1増えます。これを使って崩壊系列をたどります。

${}^{218}_{84}\text{Po}$：陽子数 = 原子番号 = 84、中性子数 = $218 - 84 = $ 134

$\alpha$ 崩壊（$Z \to Z-2$, $A \to A-4$）で(1)のPb：$Z = 82$, $A = 214$

$\beta$ 崩壊（$Z \to Z+1$, $A$ 不変）で(2)のBi：$Z = 83$, $A = 214$

答え：
(1) 陽子数84、中性子数134
(2) Pb: $Z=82$, $A=214$。Bi: $Z=83$, $A=214$
Point

$\alpha$ 崩壊：$(Z, A) \to (Z-2, A-4)$。$\beta$ 崩壊：$(Z, A) \to (Z+1, A)$。

設問(3)(4)　同位体と $\alpha$, $\beta$ 崩壊の回数

直感的理解
同位体は原子番号が同じで質量数が異なる原子です。最終生成物 ${}^{206}_{82}\text{Pb}$ までの質量数と原子番号の変化から $\alpha$ 崩壊、$\beta$ 崩壊の回数を求めます。

(3) Poの同位体（$Z = 84$）は ${}^{218}_{84}\text{Po}$（原子番号同じ、質量数異なる）

(4) ${}^{218}_{84}\text{Po} \to {}^{206}_{82}\text{Pb}$ で：

質量数の減少：$218 - 206 = 12 = 4\alpha$、よって $\alpha$ 崩壊 3回

原子番号の減少：$84 - 82 = 2$。$\alpha$ 崩壊で $3 \times 2 = 6$ 減るが、実際は $2$ しか減っていないので、$\beta$ 崩壊で $6 - 2 = 4$ 増。よって $\beta$ 崩壊 4回

答え：
(3) ${}^{214}_{84}\text{Po}$
(4) $\alpha$ 崩壊 3回、$\beta$ 崩壊 4回
Point

$\alpha$ 回数 = $\Delta A / 4$。$\beta$ 回数 = $2\alpha\text{回数} - \Delta Z$。

設問(5)　運動エネルギーの比 $K_\alpha : K_\text{Pb}$

直感的理解
静止した ${}^{218}\text{Po}$ が $\alpha$ 崩壊するとき、運動量保存則より $\alpha$ 粒子とPbは反対方向に飛び出し、運動量の大きさは等しくなります。

運動量保存：$m_\alpha v_\alpha = m_\text{Pb} v_\text{Pb}$

質量比：$m_\alpha : m_\text{Pb} = 4 : 214 = 2 : 107$

運動エネルギーの比：

$$\frac{K_\alpha}{K_\text{Pb}} = \frac{\frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha^2}{\frac{1}{2}m_\text{Pb} v_\text{Pb}^2} = \frac{m_\text{Pb}}{m_\alpha} = \frac{214}{4} = \frac{107}{2}$$

よって $K_\alpha : K_\text{Pb} = 107 : 2$

答え：
$$K_\alpha : K_\text{Pb} = 107 : 2$$
補足：運動量が等しいとき運動エネルギーの比

$p_1 = p_2$ のとき $K = p^2/(2m)$ より

$$\frac{K_1}{K_2} = \frac{m_2}{m_1}$$

軽い粒子ほど大きな運動エネルギーを得ます。

Point

静止核の崩壊では運動量保存より $K \propto 1/m$。軽い粒子が大きなエネルギーをもつ。