直感的理解

半減期とは、放射性原子核の数が半分になるまでの時間です。グラフで $N/N_0 = 1/2$ となる時間を読み取ります。

グラフより、残留率が $1/2$ になるのは $T = 8.0$ 日。

答え：
$$T = 8.0 \text{ 日}$$

Point

半減期 $T$ は $N/N_0 = 1/2$ となる時間。崩壊曲線 $N = N_0 (1/2)^{t/T}$。

直感的理解

16日 = 半減期2回分。半分の半分で $1/4$ になります。

$$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8.0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

答え：
$$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4}$$

Point

$t/T$ が整数なら $(1/2)^n$ で簡単に計算。

直感的理解

$1/16 = (1/2)^4$ なので、半減期4回分の時間がかかります。

$$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8.0}$$

指数部を比較して $t/8.0 = 4$、よって：

$$t = 4 \times 8.0 = 32 \text{ 日}$$

答え：
$$t = 32 \text{ 日}$$

補足：光子のエネルギーと波長の関係

光子のエネルギーは $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ です。波長が短い（振動数が大きい）ほどエネルギーが大きくなります。

半減期 $T = 20$ 分の放射性元素の初期量を $N_0$ とします。残量が $1/16$ になる時間は $(1/2)^n = 1/16$ より $n = 4$、よって

$$t = nT = 4 \times 20 = 80 \text{ 分}$$

$t = 60$ 分後（3半減期）の残量は

$$N(60) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{N_0}{8}$$

崩壊した原子数は $N_0 - N_0/8 = (7/8)N_0$。$t = 50$ 分時点の残量は

$$N(50) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{50/20} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{2.5} \fallingdotseq 0.177 N_0$$

半減期の整数倍でなくても $\frac{1}{2^{t/T}}$ で計算できます。

Point

$1/2^n$ を見抜いて $t = nT$。$1/16 = 1/2^4$ なので $t = 4T$。

基本例題101 半減期