基本例題99 水素原子の構造

設問(1)　量子条件

直感的理解
ボーアの量子条件は「電子の定常波が軌道上でちょうど閉じる」条件です。円周の長さが電子のド・ブロイ波長の整数倍でなければ、波が干渉して消えてしまいます。シミュレーションの緑の波が軌道上できれいに閉じているのがわかります。

電子のド・ブロイ波長 $\lambda = h/(mv)$ が軌道の円周に整数倍で収まる条件：

答え：
$$2\pi r = \frac{nh}{mv}$$
Point

量子条件 $2\pi r = n\lambda$ は「定在波の閉じる条件」。$mvr = nh/(2\pi)$ とも書ける（角運動量の量子化）。

設問(2)　運動方程式

直感的理解
電子は原子核からのクーロン力を向心力として等速円運動しています。
$$m\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2}$$
答え：
$$m\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2}$$
Point

クーロン力 = 向心力。$k_0 e^2/r^2 = mv^2/r$。

設問(3)　軌道半径 $r$（$v$ なし）

直感的理解
量子条件から $v = nh/(2\pi mr)$ を求め、運動方程式に代入して $v$ を消去します。

(1)より $v = nh/(2\pi mr)$。(2)に代入：

$$m \cdot \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \cdot \frac{1}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2}$$ $$\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} = \frac{k_0 e^2}{r^2}$$ $$r = \frac{h^2}{4\pi^2 k_0 m e^2} \cdot n^2 = a_0 n^2$$

$a_0$（$n=1$ のとき）がボーア半径です。

答え：
$$r = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 k_0 m e^2}$$
Point

軌道半径は $n^2$ に比例。$r_n = a_0 n^2$、$a_0 \fallingdotseq 5.3 \times 10^{-11}$ m。

設問(4)(5)　エネルギー準位

直感的理解
運動エネルギーと位置エネルギーの和がエネルギー準位です。位置エネルギーは運動エネルギーの$-2$倍になるという重要な関係があります。

(2)より $v^2 = k_0 e^2/(mr)$ なので：

運動エネルギー：

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{k_0 e^2}{r}$$

位置エネルギー：（無限遠を基準）

$$U = -e \cdot k_0 \frac{e}{r} = -\frac{k_0 e^2}{r}$$

エネルギー準位：

$$E_n = K + U = -\frac{1}{2} \cdot \frac{k_0 e^2}{r} = -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2}$$
答え：
$$E_n = -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2}$$
Point

$E_n \propto -1/n^2$。$K = -E_n > 0$, $U = 2E_n < 0$。ビリアル定理: $U = -2K$。

設問(6)　リュードベリ定数 $R$

直感的理解
振動数条件 $E_n - E_{n'} = hc/\lambda$ から水素原子のスペクトル式を導き、リュードベリ定数を特定します。

振動数条件より：

$$\frac{hc}{\lambda} = E_n - E_{n'} = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2}\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$ $$\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3}\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right) = R\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

よって：

$$R = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3}$$
答え：
$$R = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} = 1.10 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$$
補足：スペクトル系列
  • ライマン系列 ($n' = 1$): 紫外線
  • バルマー系列 ($n' = 2$): 可視光線
  • パッシェン系列 ($n' = 3$): 赤外線
Point

リュードベリ定数 $R$ は基本物理定数（$k_0, m, e, c, h$）だけで決まる。$R \fallingdotseq 1.10 \times 10^7$ /m。