半減期の計算

半減期 \(T\) の放射性原子核の数 \(N\) は時刻 \(t\) で：

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$

半減期1回（\(t = T\)）: \(N = N_0/2\)

半減期2回（\(t = 2T\)）: \(N = N_0/4\)

半減期3回（\(t = 3T\)）: \(N = N_0/8\)

計算例：半減期 $T = 8$ 日の放射性物質が $1/8$ になるまでの時間

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \quad \Rightarrow \quad t = 3 \times 8 = 24 \text{ 日}$$

補足：半減期の例

ヨウ素131の半減期は約8日、炭素14は約5730年、ウラン238は約45億年。半減期は原子核の種類固有の値で、外部条件に影響されません。

半減期の具体計算

半減期 $T = 8.0$ 日の ${}^{131}$I の初期量を $N_0 = 1.0 \times 10^{12}$ 個とします。$t = 24$ 日後（3半減期）の残量は

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = 1.0 \times 10^{12} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 1.25 \times 10^{11} \text{ 個}$$

$t = 32$ 日後（4半減期）は

$$N = 1.0 \times 10^{12} \times \frac{1}{16} \fallingdotseq 6.25 \times 10^{10} \text{ 個}$$

崩壊定数は $\lambda = \ln 2 / T$ より

$$\lambda = \frac{0.693}{8.0 \times 86400} \fallingdotseq 1.0 \times 10^{-6} \text{ /s}$$

半減期は外部の温度・圧力に依存せず、核種の固有値です（${}^{14}$C: 5730年、${}^{238}$U: 45億年など）。

数値まとめ：${}^{131}$I の半減期 T = 8.0 日。${}^{131}$I のモル質量は 131 g = 0.131 kg で、1 mol = 6.02 × 10²³ 個。試料の質量が 1.0 kg のとき原子数は約 4.6 × 10²⁴ 個。崩壊定数 λ = ln2 / T を使って初期アクティビティは 4.6 × 10¹⁸ Hz となります。1崩壊で放出される γ 線は 0.36 MeV = 5.8 × 10^-14 J です。