ベクトルの和は「矢印をつなげる」イメージ。\(\vec{a}\) の先端から \(\vec{b}\) を描くと、始点から終点への矢印が \(\vec{a}+\vec{b}\) になる。成分で見れば、x 成分どうし・y 成分どうしを足すだけ。
成分ごとの加法で求める。
\(\vec{a}=(a_x,\;a_y)\)，\(\vec{b}=(b_x,\;b_y)\) のとき：
$$ \vec{a}+\vec{b} = (a_x + b_x,\; a_y + b_y) $$具体的な数値を代入する：
$$ \vec{a}+\vec{b} = (3+2,\; 2+0) $$ $$ = (5,\; 2) $$和の大きさを求める：
$$ |\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \ffallingdotseq 5.39 $$つなぎ合わせ法（三角形法）：\(\vec{a}\) の終点に \(\vec{b}\) の始点をつなげる。始点から終点への矢印が和。
平行四辺形法：始点をそろえて \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) を描き、平行四辺形を作る。対角線が和。
どちらも同じ結果になる。成分計算はつなぎ合わせ法の考え方そのもの。
物理での応用例：速度 \(\vec{v}_1 = (3.0,\; 2.0)\) m/s の台車に、追加の速度 \(\vec{v}_2 = (2.0,\; 0)\) m/s を与えたとき、合成速度は
$$ \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = (3.0 + 2.0,\; 2.0 + 0) = (5.0,\; 2.0) \;\text{m/s} $$合成速度の大きさは \(\sqrt{5.0^2 + 2.0^2} = \sqrt{29} \fallingdotseq 5.39\) m/s となる。
ベクトルの和は成分ごとに足す。\((a_x+b_x,\; a_y+b_y)\) と覚えよう。
\(\vec{a}\) は x 軸方向のみ、\(\vec{b}\) は斜め上向き。和は「右に進んでから斜め上に進む」合計の到達点を指す。
成分ごとに加法する：
$$ \vec{a}+\vec{b} = (4+1,\; 0+3) $$ $$ = (5,\; 3) $$和の大きさ（参考）：
$$ |\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \fallingdotseq 5.83 $$\(|\vec{a}| = 4\)，\(|\vec{b}| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10} \fallingdotseq 3.16\) だが、
$$ |\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{34} \fallingdotseq 5.83 \neq 4 + 3.16 = 7.16 $$ベクトルの大きさの和 \(\neq\) 和のベクトルの大きさ。等号が成り立つのは同じ向きのときだけ。
一方の成分が 0 のときも、同じ公式 \((a_x+b_x,\; a_y+b_y)\) をそのまま使える。
\(\vec{b}\) は左下向き。\(\vec{a}\) で右上に進んだ後、\(\vec{b}\) で左下に戻される。成分に負の値があっても計算方法は同じ。
負の成分もそのまま足す：
$$ \vec{a}+\vec{b} = (2+(-3),\; 3+(-1)) $$ $$ = (2-3,\; 3-1) $$ $$ = (-1,\; 2) $$x 成分が負なので、和のベクトルはy 軸の左側を向く。
和の大きさ：
$$ |\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \fallingdotseq 2.24 $$各ベクトルの大きさと比較すると、\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} \fallingdotseq 3.61\)、\(|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2} = \sqrt{10} \fallingdotseq 3.16\) なので、逆向き成分が打ち消し合い和は小さくなっている。
x 成分が負 → 矢印が左を向く成分がある。y 成分が負 → 下を向く成分がある。
本問では \((-1, 2)\) なので、原点から「左に1、上に2」の位置を指す矢印になる。向きは第2象限（左上方向）。
成分が負のベクトルでも加法の公式はそのまま使える。符号に注意して代入すればよい。