編末問題68 等加速度直線運動のグラフ

等加速度直線運動のグラフ（総合問題）

直感的理解
v-tグラフの形から運動の全体像を読み取ります。直線の傾き＝加速度、水平部分＝等速、面積＝距離。v-tグラフ→a-tグラフ（傾き）、v-tグラフ→x-tグラフ（面積の累積）の変換が総合問題のカギです。

設定：v-tグラフから加速度・経過時間・距離を読み取る総合問題。

(1) 各区間の加速度

0〜3 s：$v$ が $0 \to 6.0$ m/s

$$ a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{6.0 - 0}{3.0 - 0} = 2.0 \;\text{m/s}^2 $$

3〜8 s：$v = 6.0$ m/s 一定なので $a_2 = 0$（等速）

8〜10 s：$v$ が $6.0 \to 0$

$$ a_3 = \frac{0 - 6.0}{10 - 8} = \frac{-6.0}{2.0} = -3.0 \;\text{m/s}^2 $$

(2) 総移動距離

v-tグラフの面積（各区間の三角形・長方形の面積）を足します：

$$ x_1 = \tfrac{1}{2} \times 3.0 \times 6.0 = 9.0 \;\text{m} $$ $$ x_2 = 6.0 \times (8.0 - 3.0) = 30 \;\text{m} $$ $$ x_3 = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 6.0 = 6.0 \;\text{m} $$ $$ x_{\text{total}} = 9.0 + 30 + 6.0 = 45 \;\text{m} $$

(3) x-tグラフの描画

加速区間は下に凸の放物線、等速区間は直線、減速区間は上に凸の放物線です。

答え：
(1) $a_1 = 2.0$ m/s²、$a_2 = 0$、$a_3 = -3.0$ m/s²
(2) 総距離 $45$ m
(3) x-tグラフは上のシミュレーション参照
補足：a-tグラフの描画

a-tグラフは各区間で一定値をとる階段状のグラフになります：
0〜3 s: $a = 2.0$ m/s²
3〜8 s: $a = 0$
8〜10 s: $a = -3.0$ m/s²

数値計算：例えば \(v_0 = 0\) m/s、\(a = 2.0\) m/s²、\(t = 3.0\) s のとき：

$$v = v_0 + at = 0 + 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ m/s}$$ $$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0 \text{ m}$$
Point

グラフの相互変換：v-tの傾き→a-t、v-tの面積→x-t。3種類のグラフを相互に変換できるようになることが運動学の基本。区間ごとに分けて処理するのがコツ。