速度の合成（川の横断・ベクトル合成）

設定：流速 $2.0$ m/s の川。静水上 $4.0$ m/s で漕ぐ船が、川の流れの方向を $x$ 方向、対岸方向を $y$ 方向とします。

(1) 静水中の速さ

船が静水中を進む速さは $4.0$ m/s です。

(2) 合成速度の大きさ

船を真っ直ぐ対岸に向けた場合（$v_y = 4.0$ m/s, $v_x = 2.0$ m/s）：

$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{2.0^2 + 4.0^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \fallingdotseq 4.5 \;\text{m/s} $$

(3) 向きを求める角度

対岸方向からのずれ角 $\theta$：

$$ \tan\theta = \frac{v_x}{v_y} = \frac{2.0}{4.0} = 0.50 $$

(4) 真っ直ぐ対岸に渡るための向き

流されないためには、船の $x$ 成分で流速を打ち消す。上流に $\alpha$ だけ傾けると：

$$ \sin\alpha = \frac{v_{\text{流}}}{v_{\text{船}}} = \frac{2.0}{4.0} = 0.50 \quad \therefore \alpha = 30° $$

このとき対岸方向の速度成分は：

$$ v_{\text{対岸}} = v_{\text{船}}\cos\alpha = 4.0\cos 30° = 4.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \fallingdotseq 3.5 \;\text{m/s} $$

数値計算：(2) 合成速度：

$$v = \sqrt{4.0^2 + 2.0^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \fallingdotseq 4.5 \text{ m/s}$$ $$\tan\theta = \frac{2.0}{4.0} = 0.50$$ $$v_{\text{対岸}} = \sqrt{4.0^2 - 2.0^2} = 2\sqrt{3} \fallingdotseq 3.5 \text{ m/s}$$

補足：ベクトルの合成と分解

直交する速度の合成は三平方の定理：\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)。流れを打ち消すには上流に角度をつけます。