例題4 相対速度

相対速度

直感的理解
相対速度とは「相手の速度から自分の速度を引いたもの」です。向かい合って走る車同士は、お互いが速く近づいて見えます。逆に同じ向きに走ると、相手はゆっくり動いて見えます。

設定：東向きを正として、自動車Aが東向き $v_A = 10$ m/s、自動車Bが西向き $v_B = -15$ m/s。

(1) Aに対するBの相対速度

Aに対するBの相対速度 $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$：

$$ v_{BA} = (-15) - 10 = -25 \;\text{m/s} $$

西向きに $25$ m/s。

(2) オートバイCが北向き $10$ m/sのとき、Aに対するCの相対速度

AとCの速度は直角なので、ベクトルの引き算をします：

$v_{CA}$ の東西成分: $0 - 10 = -10$ m/s（西向き）、南北成分: $10 - 0 = 10$ m/s（北向き）

$$ |v_{CA}| = \sqrt{(-10)^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \;\text{m/s} $$

向き：$\tan\theta = 10/10 = 1$ より $\theta = 45°$（北西の方向）。

数値計算：\(v_A = 20\) m/s（東向き）、\(v_B = 15\) m/s（北向き）：

$$|v_{BA}| = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25 \text{ m/s}$$ $$\tan\theta = \frac{15}{20} = 0.75 \quad \therefore \theta \fallingdotseq 37°$$ $$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$$
答え：
(1) 西向きに $25$ m/s
(2) $10\sqrt{2} \fallingdotseq 14$ m/s（北西方向、西から北に45°）
補足：相対速度の考え方

B から見た A の相対速度 \(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B\)。自分の速度を引きます。

Point

相対速度の公式：$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$（Aから見たBの速度）。同一直線上で向かい合うと速度の絶対値が足される。直交する場合は三平方の定理を使う。