等加速度直線運動のグラフ

設定：電車がA駅を出て加速し、等速走行後、B駅に向けて減速停車。v-tグラフが与えられている。

(1) 加速度と減速時の加速度

A駅を出てから $t_1 = 100$ s で $v = 20$ m/s に達する：

$$ a_1 = \frac{20 - 0}{100} = 0.20 \;\text{m/s}^2 $$

$t = 150$ s から $t = 200$ s で停車：

$$ a_2 = \frac{0 - 20}{200 - 150} = \frac{-20}{50} = -0.40 \;\text{m/s}^2 $$

(2) 40秒間に進んだ距離

0〜40 s の間（等加速度区間、$v_0 = 0$、$a = 0.20$ m/s²）：

$$ x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.20 \times 40^2 = 0.10 \times 1600 = 160 \;\text{m} $$

(3) A駅とB駅の距離

v-tグラフの面積（各区間）を合計：

$$ x_1 = \tfrac{1}{2} \times 100 \times 20 = 1000 \;\text{m} $$ $$ x_2 = 50 \times 20 = 1000 \;\text{m} $$ $$ x_3 = \tfrac{1}{2} \times 50 \times 20 = 500 \;\text{m} $$ $$ x_{\text{total}} = 1000 + 1000 + 500 = 2500 \;\text{m} = 2.5 \;\text{km} $$

補足：v-tグラフからx-tグラフへの変換

v-tグラフの面積を時刻ごとに積分すればx-tグラフが得られます。加速区間は放物線、等速区間は直線、減速区間も放物線になります。シミュレーション下段のグラフで確認できます。

数値計算：例えば \(v_0 = 0\) m/s、\(a = 2.0\) m/s²、\(t = 3.0\) s のとき：

$$v = v_0 + at = 0 + 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ m/s}$$ $$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0 \text{ m}$$