相対速度の応用

設定：列車Aが東向きに $30$ m/s、自動車Bが南向きに進む。Aに対するCの相対速度の大きさが $25$ m/s であった。Cの速さ $v_C$ を求める。

(1) AのBに対する相対速度

Bが西向きに速さ $v_B$ で走るとき（東向きを正）：

$$ v_{AB} = v_A - v_B = 30 - (-v_B) = 30 + v_B $$

同一直線上で逆向き → 速さの和になります。

(2) Cの速さを求める

Cが東向きに走るとき、Aに対するCの相対速度の大きさが $25$ m/s：

$$ |v_C - v_A| = 25 $$ $$ |v_C - 30| = 25 $$

これを解くと：

$$ v_C - 30 = 25 \;\text{or}\; v_C - 30 = -25 $$ $$ v_C = 55 \;\text{m/s} \;\text{or}\; v_C = 5 \;\text{m/s} $$

数値計算：\(v_A = 60\) km/h（東）、\(v_B = 80\) km/h（北）：

$$v_{AB} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{10000} = 100 \text{ km/h}$$ $$\tan\theta = \frac{80}{60} \fallingdotseq 53°$$ $$\text{A から見た B は 100 km/h}$$

補足：相対速度の図解

\(\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A\)。ベクトルの引き算で方向が求まります。