加速度の計算（記録タイマーデータ）

設定：一直線上を静止から動き始めた物体の位置と時間の記録から加速度を求めます。

(1) 各区間の平均速度

0.10 秒間隔の変位から平均速度を計算します（\(x = t^2\) のモデルとして）。

$$v_{0.05} = \frac{x(0.10) - x(0)}{0.10} = \frac{0.01}{0.10} = 0.10\;\text{m/s}$$ $$v_{0.15} = \frac{x(0.20) - x(0.10)}{0.10} = \frac{0.03}{0.10} = 0.30\;\text{m/s}$$ $$v_{0.25} = \frac{x(0.30) - x(0.20)}{0.10} = \frac{0.05}{0.10} = 0.50\;\text{m/s}$$

(2) v-tグラフと加速度

中央時刻と平均速度をプロットすると、原点を通る直線になります。傾きが加速度です：

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0.50 - 0.10}{0.25 - 0.05} = \frac{0.40}{0.20} = 2.0\;\text{m/s}^2$$

補足：なぜ区間の中央時刻を使うのか

等加速度運動では、区間 \([t_1, t_2]\) の平均速度は中央時刻 \(t_m = (t_1 + t_2)/2\) における瞬間速度と一致します：

$$\bar{v} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} = v(t_m) = v_0 + a \cdot t_m$$

この性質を利用することで、離散的なデータから正確なv-tグラフを作成できます。

数値計算：例えば \(v_0 = 0\) m/s、\(a = 2.0\) m/s²、\(t = 3.0\) s のとき：

$$v = v_0 + at = 0 + 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ m/s}$$ $$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0 \text{ m}$$