速度の合成（川の横断・ベクトル）

設定：静水上 4.0 m/s のボート、流速 3.0 m/s。\(\sqrt{7} = 2.6\) とする。

(1) 対岸に向けて漕いだとき

ボートの速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\)（川に直角方向、大きさ 4.0 m/s）と流速 \(\vec{v}_{\text{流}}\)（川に平行方向、大きさ 3.0 m/s）は互いに直交しています。岸から見た合成速度の大きさは、三平方の定理より：

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_{\text{船}}^2 + v_{\text{流}}^2} $$

数値を代入します：

$$ |\vec{v}| = \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.0\;\text{m/s} $$

(2) まっすぐ対岸に渡るとき

合成速度が川に垂直になるように、船首を上流側に傾けます。このとき、ボートの静水速度 \(v_{\text{船}}\) が斜辺、流速 \(v_{\text{流}}\) が一辺、対岸方向の成分 \(v_{\perp}\) がもう一辺の直角三角形になるので：

$$ v_{\text{船}}^2 = v_{\perp}^2 + v_{\text{流}}^2 $$

\(v_{\perp}\) について解いて数値を代入すると：

$$ v_{\perp} = \sqrt{v_{\text{船}}^2 - v_{\text{流}}^2} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \fallingdotseq 2.6\;\text{m/s} $$

補足：川の幅と渡る時間の比較

川幅を \(d\) とすると、渡る時間は対岸方向の速度成分で決まります。

(1) の場合：対岸方向成分は \(v_{\text{船}} = 4.0\) m/s なので：

$$ t_1 = \frac{d}{v_{\text{船}}} = \frac{d}{4.0} $$

(2) の場合：

$$ t_2 = \frac{d}{v_{\perp}} = \frac{d}{\sqrt{7}} \fallingdotseq \frac{d}{2.6} $$

まっすぐ渡る方が時間は長くなりますが、流された距離は 0 です。