問題9 相対速度

相対速度（鉄道と道路）

直感的理解
相対速度は「観測者の速度を引く」ベクトル演算です。直角に交差する道を走る乗り物同士の相対速度は三平方の定理で大きさが求まります。同じ道路上で逆向きに走る場合は速さの和になります。

設定：東西方向に鉄道（電車A: 東向き 30 m/s）、南北方向に道路（自動車B: 北向き 15 m/s、自転車C: 南向き 5 m/s）。

(1) AからみたBの相対速度

相対速度 \(\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A\) の成分は：

$$\text{東西成分：}\; 0 - 30 = -30\;\text{m/s（西向き）}$$ $$\text{南北成分：}\; 15 - 0 = 15\;\text{m/s（北向き）}$$

大きさは：

$$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(-30)^2 + 15^2} = \sqrt{900 + 225} = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5} \fallingdotseq 33.5\;\text{m/s}$$

向きは北西方向。

(2) BからみたAの相対速度

\(\vec{v}_{AB} = -\vec{v}_{BA}\) なので大きさは同じ \(15\sqrt{5} \fallingdotseq 33.5\) m/s で、向きは南東方向（(1) の逆）。

(3) BからみたCの相対速度

BとCは同一直線上で逆向きに運動：

$$v_{CB} = v_C - v_B = (-5) - 15 = -20\;\text{m/s}$$

南向きに 20 m/s（Bから見てCは南へ遠ざかる）。

答え：
(1) \(15\sqrt{5} \fallingdotseq 33.5\) m/s（北西方向）
(2) \(15\sqrt{5} \fallingdotseq 33.5\) m/s（南東方向）
(3) 南向きに 20 m/s
補足：相対速度の向き（角度）

(1) の相対速度の向きを角度で表すと：

$$\tan\theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$

\(\tan\theta = \dfrac{1}{2}\) より、

$$\theta \fallingdotseq 26.6°$$

西から北へ約 27° の方向（北北西寄り）です。

Point

相対速度：\(\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A\)。直交する場合は \(|\vec{v}| = \sqrt{v_A^2 + v_B^2}\)、同一直線上で逆向きなら \(|\vec{v}| = v_A + v_B\)。\(\vec{v}_{BA} = -\vec{v}_{AB}\) で向きは逆。