鉛直投げ上げの総合問題

地面から高さ 14.7 m の屋上から、小球を初速度 19.6 m/s で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 投げ上げてから最高点に達するまでの時間 $t_1$ を求めよ。

(2) 最高点の地面からの高さ $H$ を求めよ。

(3) 投げ上げてから地面に落下するまでの時間 $T$ を求めよ。

(4) 地面に落下する直前の小球の速さ $v$ を求めよ。

屋上を原点とし、上向きを正とする。$v_0 = 19.6\;\text{m/s}$, $a = -g = -9.8\;\text{m/s}^2$。

(1) 最高点到達時間 $t_1$：

最高点では速度が 0 になるので、$v = v_0 - gt$ より：

$$0 = 19.6 - 9.8 \times t_1$$ $$t_1 = \frac{19.6}{9.8} = 2.0\;\text{s}$$

(2) 最高点の地面からの高さ $H$：

屋上からの最高点の高さ $h$：

$$h = v_0 t_1 - \frac{1}{2}g t_1^2 = 19.6 \times 2.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 2.0^2 = 39.2 - 19.6 = 19.6\;\text{m}$$

地面からの高さ：

$$H = h + 14.7 = 19.6 + 14.7 = 34.3\;\text{m}$$

(3) 地面到達時間 $T$：

地面は原点から $y = -14.7$ m なので：

$$-14.7 = 19.6T - \frac{1}{2} \times 9.8 \times T^2$$ $$4.9T^2 - 19.6T - 14.7 = 0$$

両辺を 4.9 で割る：

$$T^2 - 4T - 3 = 0$$

解の公式より：

$$T = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$$

$T > 0$ より：

$$T = 2 + \sqrt{7} \fallingdotseq 2 + 2.646 \fallingdotseq 4.6\;\text{s}$$

(4) 地面到達直前の速さ $v$：

$v = v_0 - gT$ の絶対値を取る：

$$v = |19.6 - 9.8 \times (2 + \sqrt{7})| = |19.6 - 19.6 - 9.8\sqrt{7}| = 9.8\sqrt{7} \fallingdotseq 25.9\;\text{m/s} \fallingdotseq 26\;\text{m/s}$$

別解：$v^2$ の公式を使う方法

屋上から地面までの変位は $y = -14.7$ m（下向き）なので：

$$v^2 = v_0^2 - 2g \times (-14.7) = v_0^2 + 2g \times 14.7$$ $$= 19.6^2 + 2 \times 9.8 \times 14.7 = 384.16 + 288.12 = 672.28$$ $$v = \sqrt{672.28} \fallingdotseq 25.9\;\text{m/s}$$

補足：地面基準で考える方法

地面からの最高点の高さ $H = 34.3$ m を使って、最高点から地面まで自由落下と考えることもできます：

$$v^2 = 2gH = 2 \times 9.8 \times 34.3 = 672.28$$ $$v = \sqrt{672.28} \fallingdotseq 25.9\;\text{m/s}$$

これはエネルギー保存の考え方に通じます。