鉛直投げ上げの計算

あるビルの屋上から、小球を鉛直上向きに 29.4 m/s の速さで投げ上げた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 小球が最高点に達するまでの時間 $t_1$ は何秒か。

(2) 最高点の投げた位置からの高さ $h$ は何 m か。

(3) 投げてから 9.8 秒後の小球の速さ $v$ は何 m/s か。また上向きか下向きか。

(4) 投げてから 9.8 秒後に小球が地上に落下したとすると、ビルの高さ $H$ は何 m か。

上向きを正とし、投げた位置を原点にとる。$v_0 = 29.4\;\text{m/s}$, $a = -g = -9.8\;\text{m/s}^2$。

(1) 最高点到達時間 $t_1$（$v = 0$）：

最高点では速度が 0 になるので、$v = v_0 - gt_1 = 0$ より：

$$t_1 = \frac{v_0}{g} = \frac{29.4}{9.8} = 3.0\;\text{s}$$

(2) 最高点の高さ $h$：

変位の公式 $h = v_0 t_1 - \dfrac{1}{2}g t_1^2$ に代入：

$$h = 29.4 \times 3.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3.0^2 = 88.2 - 44.1 = 44.1\;\text{m}$$

(3) $t = 9.8$ s 後の速さ：

速度の公式 $v = v_0 - gt$ に $t = 9.8$ s を代入：

$$v = 29.4 - 9.8 \times 9.8 = 29.4 - 96.04 = -66.64\;\text{m/s}$$

$v < 0$ なので下向き。速さは $|v| \fallingdotseq 66.6\;\text{m/s}$。

(4) ビルの高さ $H$：

$t = 9.8$ s で地上に達するので、変位 $y = -H$（屋上より下）。変位の公式に代入：

$$y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 = 29.4 \times 9.8 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 9.8^2$$ $$= 288.12 - 470.596 = -182.476\;\text{m}$$

$y = -H$ より：

$$H = 182.476 \fallingdotseq 182\;\text{m}$$

別解：$v^2$ の公式を使う方法

$$0 = v_0^2 - 2gh \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{29.4^2}{2 \times 9.8} = \frac{864.36}{19.6} = 44.1\;\text{m}$$