斜方投射の計算

地上から水平より 30° 上向きに、初速度 20 m/s で小球を投げ上げた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 初速度の水平成分 $v_{0x}$ と鉛直成分 $v_{0y}$ を求めよ。

(2) 最高点の高さ $h$ [m] と最高点到達時間 $t_1$ [s] を求めよ。

(3) 滞空時間 $T$ [s] と水平到達距離 $l$ [m] を求めよ。

(1) 初速度の成分：

$$v_{0x} = v_0 \cos 30° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17\;\text{m/s}$$ $$v_{0y} = v_0 \sin 30° = 20 \times \frac{1}{2} = 10\;\text{m/s}$$

(2) 最高点の高さ $h$ と到達時間 $t_1$：

最高点で $v_y = 0$ なので、$v_y = v_{0y} - gt_1$ より：

$$0 = 10 - 9.8 \times t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{10}{9.8} \fallingdotseq 1.0\;\text{s}$$

最高点の高さ：

$$h = v_{0y}\,t_1 - \frac{1}{2}g\,t_1^2 = 10 \times 1.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1.0^2 = 10 - 4.9 \fallingdotseq 5.1\;\text{m}$$

(3) 滞空時間 $T$ と水平到達距離 $l$：

地上発射では対称性から $T = 2t_1$：

$$T = 2 \times 1.0 = 2.0\;\text{s}$$

水平到達距離：

$$l = v_{0x} \times T = 10\sqrt{3} \times 2.0 = 20\sqrt{3} \fallingdotseq 35\;\text{m}$$

補足：水平到達距離の公式

一般に地上から角度 $\theta$ で速さ $v_0$ で斜方投射したとき：

$$l = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$

本問では：

$$l = \frac{20^2 \times \sin 60°}{9.8} = \frac{400 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} = \frac{200\sqrt{3}}{9.8} \fallingdotseq 35\;\text{m}$$

$\theta = 45°$ のとき $\sin 2\theta = 1$ で到達距離が最大になります。