直感的理解

「静かに落とした」= 初速度 0 の自由落下です。高さから時間を求めるには $y = \frac{1}{2}gt^2$ を使い、速さは $v^2 = 2gy$ から直接求めることもできます。78.4 m は約 20 階建てビルの高さで、たった 4 秒で地面に到達します。

高さ 78.4 m のビルの屋上から小石を静かに落とした。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 小石が着地するまでの時間 $t$ [s] を求めよ。

(2) 着地直前の小石の速さ $v$ [m/s] を求めよ。

(1) 着地時間 $t$：

自由落下（$v_0 = 0$）で高さ $H = 78.4$ m を落下するので、$H = \frac{1}{2}gt^2$ より：

$$78.4 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = 4.9\,t^2$$ $$t^2 = \frac{78.4}{4.9} = 16.0 \quad \Rightarrow \quad t = 4.0\;\text{s}$$

(2) 着地直前の速さ $v$：

$v = gt$ より：

$$v = 9.8 \times 4.0 = 39.2\;\text{m/s}$$

答え：
(1) $t = 4.0\;\text{s}$
(2) $v = 39.2\;\text{m/s}$

別解：$v^2 = 2gy$ を使う方法

$$v^2 = 2 \times 9.8 \times 78.4 = 1536.64$$ $$v = \sqrt{1536.64} \fallingdotseq 39.2\;\text{m/s}$$

Point

高さ $H$ からの自由落下の着地時間は $t = \sqrt{2H/g}$、着地速度は $v = \sqrt{2gH}$。$H$ が 4 倍になると $t$ は 2 倍、$v$ も 2 倍になる。

問題21 自由落下