問題22 鉛直投げ下ろし

鉛直投げ下ろし — 初速度を求める

直感的理解
高さと着地時間がわかっているので、逆算して初速度が求まります。自由落下なら $y = \frac{1}{2}gt^2 = 4.9$ m しか落ちないのに 25 m も落ちたのは、初速度があるからです。その差の 20.1 m が初速度によるもの。

地上 25 m の高さからボールを鉛直下向きに投げ下ろしたところ、1.0 秒後に地面に落ちた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) ボールの初速度の大きさ $v_0$ [m/s] を求めよ。

(2) ボールが地面に達したときの速さ $v$ [m/s] を求めよ。

下向きを正、投げ下ろした点を原点とする。

(1) 初速度 $v_0$：

下向き正で $y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$ に $y = 25$ m、$t = 1.0$ s を代入：

$$25 = v_0 \times 1.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1.0^2$$ $$25 = v_0 + 4.9$$ $$v_0 = 25 - 4.9 = 20.1\;\text{m/s} \fallingdotseq 20\;\text{m/s}$$

(2) 地面到達時の速さ $v$：

$v = v_0 + gt$ より：

$$v = 20.1 + 9.8 \times 1.0 = 29.9\;\text{m/s} \fallingdotseq 30\;\text{m/s}$$
答え：
(1) $v_0 = 20.1\;\text{m/s} \fallingdotseq 20\;\text{m/s}$
(2) $v = 29.9\;\text{m/s} \fallingdotseq 30\;\text{m/s}$
別解：$v^2$ の公式で検算
$$v^2 = v_0^2 + 2gy = 20.1^2 + 2 \times 9.8 \times 25 = 404.01 + 490 = 894.01$$ $$v = \sqrt{894.01} \fallingdotseq 29.9\;\text{m/s} \quad \checkmark$$
Point

「高さ」と「時間」が既知なら $y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$ から $v_0$ を逆算できる。何が未知かを見極めて、適切な公式を選ぼう。