鉛直投げ下ろし — 荷物の投下

5.8 m/s の一定の速さで鉛直に降下しつつある気球から、静かに荷物を落とした。5.0 秒後に荷物が地面に達した。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 荷物が地面に達したときの速さ $v$ [m/s] を求めよ。

(2) 荷物を落としたときの気球の高さ $h$ [m] を求めよ。

下向きを正とする。荷物の初速度 $v_0 = 5.8\;\text{m/s}$（気球の降下速度と同じ）。

(1) 地面到達時の速さ $v$：

下向き正で $v = v_0 + gt$ に $v_0 = 5.8$ m/s、$t = 5.0$ s を代入：

$$v = 5.8 + 9.8 \times 5.0 = 5.8 + 49.0 = 54.8\;\text{m/s}$$

(2) 荷物を落としたときの高さ $h$：

落下距離が気球の高さに等しいので、$h = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$ より：

$$h = 5.8 \times 5.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 5.0^2 = 29.0 + 122.5 = 151.5\;\text{m} \fallingdotseq 152\;\text{m}$$

別解：$v^2$ の公式で $h$ を求める

$$v^2 = v_0^2 + 2gh \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v^2 - v_0^2}{2g}$$ $$= \frac{54.8^2 - 5.8^2}{2 \times 9.8} = \frac{3003.04 - 33.64}{19.6} = \frac{2969.4}{19.6} \fallingdotseq 151.5\;\text{m} \quad \checkmark$$