2つの小石が同時に着地する問題

ビルの屋上から小石Aを静かに落とし、その 2.0 秒後に別の小石Bを初速度 24.5 m/s で鉛直下向きに投げ下ろしたところ、2つの小石は同時に地面に落ちた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 小石Aを投げ下ろしてから地面に落ちるまでの時間 $T$ [s] を求めよ。

(2) ビルの高さ $h$ [m] を求めよ。

下向きを正とし、屋上を原点とする。Aは自由落下、Bは 2.0 秒遅れで初速度 24.5 m/s で投げ下ろし。

Aの落下距離（時間 $T$）：

$$ h_A = \frac{1}{2}gT^2 \quad \cdots (1) $$

Bの落下距離（時間 $T - 2.0$）：

$$ h_B = v_0(T - 2.0) + \frac{1}{2}g(T - 2.0)^2 \quad \cdots (2) $$

(1) $T$ を求める：

同時着地なので $h_A = h_B$：

$$ \frac{1}{2}gT^2 = v_0(T - 2.0) + \frac{1}{2}g(T - 2.0)^2 $$

右辺を展開：

$$ \frac{1}{2}gT^2 = 24.5(T - 2.0) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (T^2 - 4.0T + 4.0) $$ $$ 4.9T^2 = 24.5T - 49.0 + 4.9T^2 - 19.6T + 19.6 $$

$4.9T^2$ が両辺で消えて：

$$ 0 = 4.9T - 29.4 $$ $$ T = \frac{29.4}{4.9} = 6.0 \;\text{s} $$

(2) ビルの高さ $h$：

式(1)に $T = 6.0$ s を代入：

$$ h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 6.0^2 = 4.9 \times 36 = 176.4 \;\text{m} $$

補足：放物運動の対称性

斜方投射の軌道は放物線です。最高点で鉛直速度がゼロになります。

上昇時間と下降時間は等しく \(t_{\text{top}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}\) です。

水平到達距離：\(R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\)