鉛直投げ上げ — 最高点と通過時刻

地上から小球を初速度 24.5 m/s で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 小球が最高点に達するのは何秒後か。

(2) 3.0 秒後の小球の高さ $y$ [m] を求めよ。

(3) 小球が 19.6 m の高さを通過するのは何秒後か。

上向きを正、地面を原点とする。$v_0 = 24.5\;\text{m/s}$, $a = -g = -9.8\;\text{m/s}^2$。

(1) 最高点到達時間：

最高点では $v = 0$。$v = v_0 - gt = 0$ より：

$$t = \frac{v_0}{g} = \frac{24.5}{9.8} = 2.5\;\text{s}$$

(2) 3.0 秒後の高さ $y$：

変位の公式 $y = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$ に $t = 3.0$ s を代入：

$$y = 24.5 \times 3.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3.0^2 = 73.5 - 44.1 = 29.4\;\text{m}$$

(3) $y = 19.6$ m を通過する時刻：

$y = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$ に $y = 19.6$ m を代入して整理：

$$19.6 = 24.5t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$$ $$4.9t^2 - 24.5t + 19.6 = 0$$

両辺を 4.9 で割ると：

$$t^2 - 5.0t + 4.0 = 0$$ $$(t - 1.0)(t - 4.0) = 0$$ $$t = 1.0\;\text{s},\quad t = 4.0\;\text{s}$$

$t = 1.0$ s は上昇時、$t = 4.0$ s は下降時に通過する。

補足：次元解析による検算

計算結果の単位（次元）が正しいか確認する習慣をつけましょう。

例えば力 [N] = [kg·m/s²]、エネルギー [J] = [kg·m²/s²] です。

単位が合わない場合は計算に誤りがある可能性が高いです。