鉛直投げ上げの v-tグラフ

初速度 \(v_0\) で鉛直上向きに投げ上げた小石の v-tグラフについて答えよ。

(1) \(t_1\) の意味

\(v = 0\) となる時刻なので、最高点に達する時刻を表します。

$$v = v_0 - gt_1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_1 = \frac{v_0}{g}$$

(2) 重力加速度 \(g\) の求め方

v-tグラフの傾きの大きさが \(g\) です：

$$g = \left|\frac{\Delta v}{\Delta t}\right| = \frac{v_0 - 0}{t_1 - 0} = \frac{v_0}{t_1}$$

(3) v-tグラフの完成

\(v = v_0 - gt\) は一次関数なので直線を延長します。\(t = 2t_1\) で \(v = -v_0\) になります：

$$v(2t_1) = v_0 - g \cdot 2t_1 = v_0 - 2v_0 = -v_0$$

(4) 最高点の高さと面積の対応

\(0 \leq t \leq t_1\) で v-tグラフと時間軸で囲まれた三角形の面積が高さ \(h\) です：

$$h = \frac{1}{2} v_0 t_1 = \frac{1}{2} v_0 \cdot \frac{v_0}{g} = \frac{v_0^2}{2g}$$

補足：v-tグラフの面積と変位の関係

v-tグラフの面積は変位を表します。時間軸より上の面積は正の変位（上昇）、下の面積は負の変位（下降）です：

$$\text{上昇分} = \frac{1}{2}v_0 t_1, \quad \text{下降分} = -\frac{1}{2}v_0 t_1$$

往復後の変位は 0（元の位置に戻る）になります。

具体的な数値で確認

初速 \(v_0 = 19.6\) m/s で鉛直上向きに投げ上げ、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として各値を計算する。

(1) 最高点に達する時刻 \(t_1\)：\(v = 0\) になる時刻。

$$ 0 = v_0 - g t_1 \;\Longrightarrow\; t_1 = \frac{v_0}{g} = \frac{19.6}{9.8} = 2.0 \text{ s} $$

(2) v-tグラフの傾きの大きさが \(g\) であることの確認：\(t = 0\) のとき \(v = 19.6\) m/s、\(t = 2.0\) s で \(v = 0\)。

$$ \left|\frac{\Delta v}{\Delta t}\right| = \left|\frac{0 - 19.6}{2.0 - 0}\right| = 9.8 \text{ m/s}^2 = g $$

(3) v-tグラフは \(v_0\) から \(-v_0\) までの直線。投げ上げ点に戻る時刻 \(2 t_1\) のとき：

$$ v(2t_1) = v_0 - g(2t_1) = 19.6 - 9.8 \times 4.0 = -19.6 \text{ m/s} $$

(4) 最高点の高さ \(h\)：v-tグラフと時間軸で囲まれた三角形の面積。

$$ h = \tfrac{1}{2} \times t_1 \times v_0 = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 19.6 = 19.6 \text{ m} $$