崖からの水平投射

高さ 80 m の崖の上から、海に向かって小石を水平に速さ 21 m/s で投げ出した。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。

(1) 投げ出してから小石が海面に落ちるまでの時間 $t$ [s] を求めよ。

(2) 海面に落ちるまでに小石が水平方向に進んだ距離 $x$ [m] を求めよ。

(3) 海面に落ちるまでの間に、小石の落下距離が投げ出した高さの半分（40 m）になるのは何秒後か。

(4) 海面に落下するとき、小石の速さ $v$ [m/s] を求めよ。

水平方向を $x$（右正）、鉛直方向を $y$（下正）、投げ出した点を原点とする。

(1) 海面到達時間 $t$：

鉛直方向は自由落下なので $y = \dfrac{1}{2}gt^2$。$y = 80$ m のとき：

$$80 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$$ $$t^2 = \frac{2 \times 80}{9.8} = \frac{160}{9.8} \fallingdotseq 16.33$$ $$t = \sqrt{16.33} \fallingdotseq 4.04 \fallingdotseq 4.0\;\text{s}$$

(2) 水平到達距離 $x$：

水平方向は等速運動なので $x = v_0 t$：

$$x = 21 \times 4.0 = 84\;\text{m}$$

(3) 落下距離 40 m になる時刻：

$y = \dfrac{1}{2}gt_1^2 = 40$ m を解く：

$$t_1^2 = \frac{2 \times 40}{9.8} = \frac{80}{9.8} \fallingdotseq 8.163$$ $$t_1 = \sqrt{8.163} \fallingdotseq 2.86 \fallingdotseq 2.9\;\text{s}$$

(4) 海面での速さ $v$：

水平成分 $v_x = v_0 = 21$ m/s（一定）、鉛直成分 $v_y = gt = 9.8 \times 4.0 = 39.2$ m/s。合成速度は：

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{21^2 + 39.2^2} = \sqrt{441 + 1536.64} = \sqrt{1977.64} \fallingdotseq 44.5\;\text{m/s}$$

別解：エネルギー保存則を使う方法

力学的エネルギー保存則（第5章で学習）を使えば：

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgH$$ $$v^2 = v_0^2 + 2gH = 21^2 + 2 \times 9.8 \times 80 = 441 + 1568 = 2009$$ $$v = \sqrt{2009} \fallingdotseq 44.8\;\text{m/s}$$

（丸め誤差により若干異なるが、同じ結果）