ビル上からの斜方投射

地上 39.2 m の高さの塔の上から、小球を水平から 30° 上向きに初速度 19.6 m/s で投げた。重力加速度の大きさを $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ とする。有効数字2桁で答えよ。

(1) 投げてから最高点に達するまでの時間 $t_1$ は何秒か。

(2) 最高点の地面からの高さ $H$ は何 m か。

(3) 投げてから地面に落下するまでの時間 $T$ は何秒か。

(4) 小球が地上に落下した点と塔の間の水平距離 $l$ は何 m か。

投げた点を原点とし、上向きを正とする。

(1) 最高点到達時間 $t_1$：

鉛直成分 $v_{0y} = v_0 \sin 30° = 19.6 \times 0.5 = 9.8$ m/s。最高点で $v_y = 0$ なので：

$$0 = v_{0y} - g\,t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{9.8}{9.8} = 1.0\;\text{s}$$

(2) 最高点の地面からの高さ $H$：

原点（投げた点）からの最高点の高さ：

$$h = v_{0y}\,t_1 - \frac{1}{2}g\,t_1^2 = 9.8 \times 1.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1.0^2 = 9.8 - 4.9 = 4.9\;\text{m}$$

地面からの高さ：

$$H = 39.2 + 4.9 = 44.1 \fallingdotseq 44\;\text{m}$$

(3) 地面到達時間 $T$：

地面は原点から $y = -39.2$ m の位置なので：

$$-39.2 = 9.8\,T - \frac{1}{2} \times 9.8 \times T^2$$ $$4.9\,T^2 - 9.8\,T - 39.2 = 0$$

両辺を 4.9 で割る：

$$T^2 - 2T - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad (T - 4)(T + 2) = 0$$

$T > 0$ より $T = 4.0$ s。

(4) 水平到達距離 $l$：

水平成分 $v_{0x} = v_0 \cos 30° = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 17.0$ m/s より：

$$l = v_{0x} \times T = 17.0 \times 4.0 = 68\;\text{m}$$

補足：斜方投射の飛距離

\(R = v_0^2 \sin 2\theta / g\)。\(\theta=45°\) で最大。