直感的理解

2つの力を1つにまとめたものが「合力」です。図形的には平行四辺形の対角線が合力ベクトルになります。上のシミュレーションで矢印をドラッグすると、平行四辺形の形が変わり、合力がどう変化するかを直感的に理解できます。

作図方法：$\vec{F_1}$ と $\vec{F_2}$ を隣り合う2辺とする平行四辺形を作り、原点から対角線を引くと合力 $\vec{F_1} + \vec{F_2}$ が得られます。

図から読み取ると：

答え：
上図参照。$\vec{F_1}$ と $\vec{F_2}$ を2辺とする平行四辺形の対角線が合力。

Point

力の合成は平行四辺形の法則に従う。2力を隣り合う辺とする平行四辺形の対角線が合力になる。

直感的理解

合力の成分は、各力の同じ方向の成分をそれぞれ足すだけ。$x$ 方向は $x$ 方向同士、$y$ 方向は $y$ 方向同士で独立に計算できます。

立式：合力の成分は各力の成分の和です。

図から $\vec{F_1}$ と $\vec{F_2}$ の成分を読み取ると：

$x$ 成分の和：

$y$ 成分の和：

答え：
$$x \text{ 成分} : 6 \text{ N}, \quad y \text{ 成分} : 8 \text{ N}$$

Point

合力の成分 = 各力の成分の和。$F_x = F_{1x} + F_{2x}$、$F_y = F_{1y} + F_{2y}$ で求まる。

直感的理解

合力の大きさは三平方の定理（ピタゴラスの定理）で求めます。$x$ 成分と $y$ 成分を直角の2辺、合力を斜辺とする直角三角形を考えれば良いのです。

立式：三平方の定理を使います。

計算：

答え：
$$F = 10 \text{ N}$$

補足：3:4:5の直角三角形

$F_x = 6$, $F_y = 8$ は $3:4:5$ の直角三角形（$\times 2$）に対応しています。このような特殊な比を覚えておくと計算が速くなります。

Point

合力の大きさ $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$（三平方の定理）。成分が求まれば、大きさは自動的に計算できる。

2力の合成で合力の大きさが 10 N、x成分 6 N、y成分 8 N になる例を計算する。

x成分とy成分から合力の大きさ：

$$ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ N} $$

合力の向き（x軸正方向を 0° とした角度 $\theta$）：

$$ \tan\theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{8}{6} \fallingdotseq 1.33 $$ $$ \theta = \arctan(1.33) \fallingdotseq 53° $$

確認：(3,4,5) の直角三角形を 2 倍した (6,8,10) の関係になっていることがわかる。よく使われる典型値なので覚えておくとよい。

逆に、合力 $F = 10$ N が x軸と $\theta = 53°$ の角をなすときの成分は：

$$ F_x = F\cos\theta = 10 \times 0.6 = 6 \text{ N},\quad F_y = F\sin\theta = 10 \times 0.8 = 8 \text{ N} $$

例題14 力の合成