例題16 斜面上のつりあい

設問(1) 重力 $W$ を求める

直感的理解
重力は地球の中心に向かう力で、常に鉛直下向きです。斜面の角度に関係なく $W = mg$ で求まります。質量と重力加速度を掛けるだけのシンプルな計算です。

立式：

答え：
$$W = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \fallingdotseq 20 \text{ N}$$
Point

重力の大きさ $W = mg$。質量 $m$ [kg] に重力加速度 $g$ [m/s$^2$] を掛けるだけ。斜面の角度には依存しない。

設問(2) 張力 $T$ と垂直抗力 $N$

直感的理解
斜面上の物体では、重力を「斜面に沿った方向」と「斜面に垂直な方向」に分解するのがコツです。斜面が急なほど（$\theta$ が大きいほど）、重力の斜面成分 $mg\sin\theta$ が大きくなり、糸に大きな力がかかります。逆に垂直成分 $mg\cos\theta$ は小さくなり、斜面からの抗力は減ります。

条件：$m = 2.0$ kg, $\theta = 30°$, $g = 9.8$ m/s$^2$, $W = 19.6$ N $\fallingdotseq 20$ N

方法1：直角三角形の辺の比を利用

重力 $W$ を斜面に平行な成分 $W_x$ と垂直な成分 $W_y$ に分解します。直角三角形の辺の比より：

斜面に平行な方向のつりあい：

斜面に垂直な方向のつりあい：

答え：
$$T = W_x = 9.8 \text{ N}$$ $$N \fallingdotseq 17 \text{ N}$$
別解：三角比を用いた解法

それぞれの方向の力のつりあいより：

斜面平行方向：

$$T = mg\sin 30° = 19.6 \times \frac{1}{2} = 9.8 \text{ N}$$

斜面垂直方向：

$$N = mg\cos 30° = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 19.6 \times 0.866 \fallingdotseq 17 \text{ N}$$

$\sin$, $\cos$ を使う方法は角度が 30°, 45°, 60° 以外でも使えるため、一般的にはこちらが便利です。

補足：なぜ重力の分解で $\theta$ が「斜面垂直方向側」に現れるのか

重力は鉛直下向き、斜面は水平から $\theta$ 傾いています。重力と斜面垂直方向のなす角も $\theta$ になります（同位角の関係）。よって：

  • 斜面垂直成分 = $mg\cos\theta$（$\theta$ に近い側）
  • 斜面平行成分 = $mg\sin\theta$（$\theta$ から遠い側）

$\theta = 0°$（水平面）のとき、垂直成分 $= mg$, 平行成分 $= 0$ となり、直感と一致することを確認しましょう。

Point

斜面上のつりあいでは、重力を斜面平行成分 $mg\sin\theta$ と斜面垂直成分 $mg\cos\theta$ に分解する。糸の張力は $T = mg\sin\theta$、垂直抗力は $N = mg\cos\theta$。