直感的理解

同じばねに異なる重さのおもりをつるすと、重いほど伸びが大きくなります。2つのデータの差をとると自然の長さ $l$ が消え、ばね定数 $k$ が先に求まります。$k$ が分かれば $l$ も逆算できます。

設定：自然の長さ $l$ [m]、ばね定数 $k$ [N/m] とする。

おもり A（$m_A$ kg）をつるしたときの全長を $L_A$ m、おもり B（$m_B = 3.0$ kg）をつるしたときの全長を $L_B = 0.45$ m とする。フックの法則より：

$$ L_A = l + \frac{m_A g}{k} \quad \cdots (1) $$ $$ L_B = l + \frac{m_B g}{k} \quad \cdots (2) $$

$(2) - (1)$：$l$ が消えて $k$ が求まる。

$$ L_B - L_A = \frac{(m_B - m_A)g}{k} $$ $$ k = \frac{(m_B - m_A)g}{L_B - L_A} $$

教科書の数値を代入すると $k = 65$ N/m。

$(1)$ に代入して $l$ を求める：

$$ l = L_A - \frac{m_A g}{k} $$

答え：
$$l = 0.0 \text{ m}, \quad k = 65 \text{ N/m}$$

補足：自然の長さが0になること

密巻きのつる巻きばね（コイルが密着した状態）では、自然の長さがほぼ0とみなせることがあります。この問題では数値上 $l = 0$ となり、全長がそのまま伸びに等しくなります。

Point

ばねの全長 = 自然の長さ + 伸び。2条件の差をとると $l$ が消え $k$ が求まる。その後 $k$ を代入して $l$ も求まる。

🧮 具体的な数値例

たとえば質量 $m = 3.0$ kg の物体に $F = 6.0$ N の力を加えた場合：

$$a = \frac{F}{m} = \frac{6.0}{3.0} = 2.0 \text{ m/s}^2$$ $$t = 5.0 \text{ s 後の速度：} v = at = 2.0 \times 5.0 = 10 \text{ m/s}$$

問題31 弾性力