問題34 力の合成

設問(1) $F_1 = 10$ N、$F_2 = 20$ N、なす角120°

直感的理解
2つの力が120°の角をなすとき、合力は平行四辺形の対角線になります。120°は特殊角で、余弦定理を使うと簡潔に計算できます。

余弦定理を用いた計算：

2力 $F_1$, $F_2$ のなす角が $\theta$ のとき、合力の大きさは

答え：
$$F = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17 \text{ N}$$
Point

2力の合力は余弦定理 $F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos\theta$ で求まる。$\theta = 120°$ では $\cos 120° = -1/2$。

設問(2) $F_1 = 20$ N、$F_2 = 15$ N、直角

直感的理解
2力が直角のとき、合力は三平方の定理（ピタゴラスの定理）で求まります。20, 15 は $20^2 + 15^2 = 625 = 25^2$ なので、合力は 25 N です。
答え：
$$F = 25 \text{ N}$$
Point

直角の2力の合成は三平方の定理：$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$。3:4:5の比を覚えておくと計算が速い。

設問(3) 3力の合成

直感的理解
3力以上の合成は、$x$ 成分と $y$ 成分をそれぞれ足し合わせます。$x$ 方向は $10 - 20 = -10$ N、$y$ 方向は $+10$ N で、合力は左上方向を向きます。

$x$ 成分：

$y$ 成分：

合力の大きさ：

答え：
$$F = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \text{ N}$$
補足：合力の向きの求め方

合力の大きさだけでなく向きも重要です。$x$ 軸正方向からの角度 $\alpha$ は：

$$\tan\alpha = \frac{F_y}{F_x} = \frac{10}{-10} = -1$$

$F_x < 0$、$F_y > 0$ なので第2象限。したがって $\alpha = 135°$（$x$ 軸正方向から反時計回り）です。

成分が $(F_x, F_y) = (-10, 10)$ なので、大きさは $\sqrt{(-10)^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14$ N、方向は左上45°です。逆正接の値域に注意し、象限を必ず確認しましょう。

Point

3力以上の合成は成分分解が基本。$F_x = \sum F_{ix}$, $F_y = \sum F_{iy}$ を求めてから $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ で合力を得る。