問題35 力の分解

設問(1) 鉛直下向き20Nを45°方向に分解

直感的理解
20 N の力を45°の方向に分解すると、各分力は $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を使って計算できます。45°は特殊角なので暗記しておくと便利です。

力 $F = 20$ N を、鉛直から45°の方向（①）と、それに垂直な方向（②）に分解する。

$$ F_1 = F\cos 45° = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \;\text{N} $$ $$ F_2 = F\sin 45° = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \;\text{N} $$
答え：
$$\textcircled{1} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \text{ N}, \quad \textcircled{2} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \text{ N}$$
Point

45°の分解では $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。2つの分力が等しくなるのが特徴。

設問(2) 左右対称45°ずつの分解

直感的理解
鉛直下向きの力を左右対称に45°ずつ傾いた2方向に分解します。対称なので2つの分力は等しくなります。鉛直成分がもとの力に等しくなるように大きさを決めます。

対称分解なので $F_1 = F_2$。鉛直成分のつりあいより：

答え：
$$\textcircled{1} = \textcircled{2} = 10\sqrt{2} \fallingdotseq 14 \text{ N}$$
Point

対称な分解では2つの分力が等しい。もとの力の方向の成分の和がもとの力に等しいという条件から求まる。

設問(3) 30°方向の力を水平・30°方向に分解

直感的理解
力を水平方向と鉛直方向に分解するのは、斜面の問題で非常によく使う操作です。$\cos$ が水平成分、$\sin$ が鉛直成分になります。
答え：
$$\textcircled{1} = 10\sqrt{3} \fallingdotseq 17 \text{ N}, \quad \textcircled{2} = 10 \text{ N}$$
補足：力のつりあいと作用反作用の違い

力のつりあいと作用反作用は別概念です。

  • つりあい：1つの物体にはたらく力の合力 = 0
  • 作用反作用：2物体間で大きさ等しく逆向きの力のペア

つりあいは同一物体上、作用反作用は異なる物体間で成り立ちます。

Point

力の分解では三角比を使う。$\cos$ は「近い方の軸」、$\sin$ は「遠い方の軸」の成分。30°の三角比：$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30° = \frac{1}{2}$。