問題40 斜面上のつりあい

設問(1) 斜面に平行な力を加えたとき

直感的理解
斜面に平行に力を加える場合は、例題16と同じ標準パターンです。重力を斜面平行・垂直に分解し、平行成分を加える力が打ち消し、垂直成分を抗力が打ち消します。

物体にはたらく力：重力 $mg$、加える力 $F$（斜面上向き）、垂直抗力 $N$（斜面垂直）

斜面平行方向のつりあい：

斜面垂直方向のつりあい：

答え：
$$F = \frac{1}{2}mg, \quad N = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$$
Point

斜面平行の力で支える場合は標準的な斜面分解。$F = mg\sin\theta$, $N = mg\cos\theta$。

設問(2) 水平方向に力を加えたとき

直感的理解
水平方向に力を加える場合は、加える力を斜面方向に分解する必要があります。水平な力にも斜面平行成分と垂直成分があるため、垂直抗力が設問(1)より大きくなります。物体を「斜面に押し付ける」効果もあるからです。

斜面方向に分解：水平力 $F$ の斜面平行成分 = $F\cos 30°$、斜面垂直成分 = $F\sin 30°$

斜面平行方向のつりあい：

斜面垂直方向のつりあい：

答え：
$$F = \frac{\sqrt{3}}{3}mg = mg\tan 30°$$ $$N = \frac{2\sqrt{3}}{3}mg = \frac{mg}{\cos 30°}$$
別解：水平・鉛直方向に分解

水平方向のつりあい：

$$F = N\sin 30° \quad \Rightarrow \quad F = \frac{N}{2}$$

鉛直方向のつりあい：

$$N\cos 30° = mg \quad \Rightarrow \quad N = \frac{mg}{\cos 30°} = \frac{2mg}{\sqrt{3}}$$

よって：

$$F = \frac{N}{2} = \frac{mg}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}mg$$
Point

水平方向に力を加える場合は、(1)に比べて垂直抗力が大きくなる。水平力の斜面垂直成分が物体を斜面に押し付けるため。分解方向の選択が重要。

具体的な数値で確認

物体の質量 \(m = 2.0\) kg、斜面の角度 \(\theta = 30°\)、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として、各設問の力を計算する。

重力の大きさ：

$$ mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \text{ N} $$

(1) 斜面に平行に上向きの力を加える場合：

$$ F_1 = mg\sin 30° = 19.6 \times 0.5 = 9.8 \text{ N} $$ $$ N_1 = mg\cos 30° = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 17.0 \text{ N} $$

(2) 水平方向に力を加える場合：水平・鉛直のつりあいから \(F = mg\tan 30°\)、\(N = mg/\cos 30°\)。

$$ F_2 = mg\tan 30° = 19.6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \fallingdotseq 11.3 \text{ N} $$ $$ N_2 = \frac{mg}{\cos 30°} = \frac{19.6}{\sqrt{3}/2} \fallingdotseq 22.6 \text{ N} $$

水平に押す方が \(F_2 > F_1\) となり、垂直抗力も \(N_2 > N_1\) で大きくなる。これは水平力が斜面を押し付ける成分を持つため。