編末問題74 動く板上での物体の運動

設問(1)　小物体の加速度

直感的理解
板を引くと、板と小物体の間に摩擦力がはたらきます。小物体にとって、加速させる力は板からの動摩擦力だけです。小物体の加速度は板の動きとは無関係に $a = \mu'g$ で決まります。テーブルクロス引きの物理です。

小物体にはたらく力：

板からの動摩擦力 $f' = \mu'mg$（進行方向 = 右向き）のみ。

運動方程式：

答え：
$$a_{\text{obj}} = \mu'g\text{（板が引かれる方向）}$$
補足：相対すべりの判定

板と物体が一体か滑るかは最大静止摩擦力で判定します。

Point

小物体の加速度は板からの摩擦力で決まり、$a = \mu'g$。外力 $F$ や板の質量に依存しない。

設問(2)　板の加速度

直感的理解
板には3つの水平方向の力がはたらきます：(1) 外力 $F$（右向き）、(2) 小物体からの摩擦の反作用（左向き）、(3) 床からの摩擦力（左向き）。板が受ける垂直抗力は板+小物体の合計重力です。

板にはたらく水平方向の力：

運動方程式：

答え：
$$a_{\text{board}} = \frac{F - \mu'(2m + M)g}{M}$$

具体的な数値での計算

動摩擦係数 $\mu' = 0.20$, $g = 9.8$ m/s² のとき小物体の加速度は

$$a = \mu' g = 0.20 \times 9.8 \fallingdotseq 2.0 \text{ m/s}^2$$

小物体の質量 $m = 0.50$ kg, 板の質量 $M = 1.0$ kg で、板に $F = 5.0$ N の外力を加えたとします。板の加速度は床との動摩擦 $\mu'(m+M)g$ と小物体からの反作用 $\mu' mg$ を引いて

$$A = \frac{F - \mu'(m+M)g - \mu' mg}{M} = \frac{5.0 - 0.20 \times 1.5 \times 9.8 - 0.20 \times 0.50 \times 9.8}{1.0}$$ $$A \fallingdotseq \frac{5.0 - 2.94 - 0.98}{1.0} \fallingdotseq 1.08 \text{ m/s}^2$$

$A < a$ になる条件では板が後方に取り残され、小物体は板からはみ出ます。

Point

板の運動方程式では、小物体からの反作用（$\mu'mg$）と床からの摩擦力（$\mu'(m+M)g$）の両方を忘れずに引く。特に床からの垂直抗力は板+物体の合計重力であることに注意。