直感的理解

なめらかな斜面上の物体には、斜面方向に重力の分力 $mg\sin\theta$ だけがはたらきます。この力は常に斜面下向きなので、上昇中は減速し、下降中は加速します。しかし加速度の大きさはどちらも同じ $g\sin\theta$ です。斜面が急になるほど加速度は大きくなります。

Step 1：力の確認

なめらかな斜面なので摩擦力なし。物体にはたらく力は重力 $mg$ と垂直抗力 $N$ の2力。

Step 2：座標設定

斜面に平行な方向（上向きを正）と垂直な方向に分解します。初速度の向きを正にとると加速度 $a$ とおきます。

Step 3：運動方程式

斜面に垂直方向：$N = mg\cos\theta$（つりあい）

斜面に平行方向（上向き正）：

上昇中も下降中も、加速度は斜面方向下向きに $4.9\,\text{m/s}^2$ です。

答え：
$$a = 4.9\,\text{m/s}^2\text{（斜面方向下向き）}$$ 上昇中・下降中とも加速度の大きさと向きは同じ。

Point

なめらかな斜面上では加速度は $g\sin\theta$（斜面下向き）。上昇・下降に関わらず一定。

直感的理解

最高点では物体が一瞬停止します。つまり $v = 0$ になる地点が最高点 P です。初速度と加速度がわかっているので、等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を使って距離を求められます。

方針：最高点 P では速度 $v = 0$。$v_0 = 9.8\,\text{m/s}$、$a = -4.9\,\text{m/s}^2$ を使います。

立式：$v^2 - v_0^2 = 2ax$ を利用します。P では $v = 0$、$x = d$ なので：

答え：
$$d = 9.8\,\text{m}$$

別解：エネルギー保存による方法

なめらかな斜面なので力学的エネルギーが保存されます。A を基準として：

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgd\sin\theta$$ $$d = \frac{v_0^2}{2g\sin\theta} = \frac{9.8^2}{2 \times 9.8 \times 0.5} = \frac{96.04}{9.8} = 9.8\,\text{m}$$

数値計算：例えば $v_0 = 0$ m/s、$a = 2.0$ m/s²、$t = 3.0$ s のとき：

$$v = v_0 + at = 0 + 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ m/s}$$ $$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0^2 = 9.0 \text{ m}$$

Point

最高点では $v = 0$。等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を使うと時間を経由せずに距離が求まる。

例題18 斜面上の運動