問題42 運動方程式

設問(1)　加速度 $a$ の大きさと向き

直感的理解
糸で物体を引き上げるとき、張力が重力より大きければ上に加速します。70 N の張力で 1.3 kg（重力 12.74 N）の小球を引くと、張力のほうがずっと大きいため大きな上向き加速度が生じます。スライダーで張力を変えて、力のバランスと加速度の関係を確かめましょう。

設定：質量 $m = 1.3\,\text{kg}$、糸の張力 $T = 70\,\text{N}$、重力加速度 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$。小球にはたらく力は重力 $mg = 14.7\,\text{N}$ です（※問題文にある値を使用）。

Step 1：正の向きを設定

鉛直上向きを正とします。

Step 2：運動方程式を立てる

$$ ma = T - mg $$

Step 3：加速度を求める

$$ 1.3 \times a = 70 - 1.3 \times 9.8 = 70 - 12.74 = 57.26 $$ $$ a = \frac{57.26}{1.3} \fallingdotseq 44 \;\text{m/s}^2 $$

$a > 0$ より、向きは鉛直上向きです。

答え：
$$a \fallingdotseq 42.5\,\text{m/s}^2\text{（鉛直上向き）}$$
補足：運動方程式の立て方

① 物体選択 ② 力を書き出す ③ 正の向き ④ \(ma = F_{合}\) に代入。

Point

運動方程式 $ma = T - mg$ で、$T > mg$ なら上向き加速、$T < mg$ なら下向き加速。正の向きを決めてから立式するのが基本。

設問(2)　$a = 1\,\text{m/s}^2$ のときの張力

直感的理解
加速度が与えられているとき、運動方程式を「張力 = ?」の形に変形します。上向きに加速させるには、張力は重力より $ma$ だけ余分に必要です。

設定：鉛直上向きの加速度 $a = 1.0\,\text{m/s}^2$。

立式：$ma = T - mg$ を $T$ について解くと：

$$ T = m(g + a) $$

計算：

$$ T = 1.3 \times (9.8 + 1.0) = 1.3 \times 10.8 = 14.0 \;\text{N} $$
答え：
$$T = 14.0\,\text{N}$$
Point

上向きに加速するには $T = m(g + a)$ で、張力は重力より大きくなる。加速度を変えると必要な張力がどう変わるか意識しよう。