問題50 2物体の運動

設問(1)　糸の張力 $T$

直感的理解
B が自由落下するなら $a = g$、$T = 0$ です。A がつながっていることで B の落下が「ブレーキ」されて $a < g$ となり、そのぶん張力 $T > 0$ が生じます。加速度が大きいほど張力は小さくなります。

B の運動方程式（下向きを正）：

$$ m_B a = m_B g - T $$ $$ 2.0 \times a = 2.0 \times 9.8 - T $$

$T$ について整理：

$$ T = 2.0(9.8 - a) = 19.6 - 2.0a \;\text{[N]} $$
答え：
$$T = 2.0(9.8 - a) = 19.6 - 2.0a\,\text{[N]}$$
補足：アトウッドの装置

糸で繋がった2物体は同じ加速度。全体の運動方程式で解きます。

Point

落下する側の運動方程式から $T = m_B(g - a)$。加速度 $a$ が大きいほど張力は小さくなる。$a = g$ なら自由落下（$T = 0$）。

設問(2)　物体 A の質量 $M$

直感的理解
A にはたらく力は張力 $T$ だけです。$Ma = T$ なので $M = T/a$。設問(1)の $T$ を代入すれば $M$ が求まります。A が重いほど加速度は小さくなります。

A の運動方程式：

$$ Ma = T $$

設問(1)の結果 $T = 2.0(9.8 - a)$ を代入：

$$ Ma = 2.0(9.8 - a) $$ $$ M = \frac{2.0(9.8 - a)}{a} $$
答え：
$$M = \frac{2.0(9.8 - a)}{a}\,\text{[kg]}$$

具体的な数値での計算

動滑車にかけた糸の両端に $m_1 = 3.0$ kg, $m_2 = 2.0$ kg のおもりを吊るし、$g = 9.8$ m/s² とします。運動方程式：

$$m_1: \quad m_1 g - T = m_1 a \quad \Rightarrow \quad 3.0 \times 9.8 - T = 3.0 a$$ $$m_2: \quad T - m_2 g = m_2 a \quad \Rightarrow \quad T - 2.0 \times 9.8 = 2.0 a$$

辺々加えると

$$(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{(3.0 - 2.0) \times 9.8}{3.0 + 2.0} = 1.96 \text{ m/s}^2$$

張力は $T = m_2(g+a) = 2.0 \times (9.8 + 1.96) \fallingdotseq 23.5$ N となります。

Point

2物体の連立方程式から未知数を求める。一方の式で $T$ を消去し、もう一方の式に代入する手法は定番。