直感的理解

水平に持ち上げた小球は、支点と同じ高さにあるので、最下点までの高さは糸の長さ $l$ そのものです。途中の角度 $\theta$ での高さは $l(1 - \cos\theta)$ で、エネルギー保存で速さが求まります。最下点では円運動の向心力の式で張力を求めます。

(1) 点Aでの力学的エネルギー

最下点Bを基準にすると、点Aの高さは $h_A = l$（水平位置）で、静止しているから：

(2) 角度 $\theta$ のときの速さ $v$

角度 $\theta$ のときの高さは $h = l(1 - \cos\theta)$。エネルギー保存：

(3) 最下点Bの速さ $v_B$

$\theta = 0$ を代入：

(4) 最下点Bでの張力 $T$

最下点では円運動。上向きを正として：

答え：
(1) $E_A = mgl$ [J]
(2) $v = \sqrt{2gl\cos\theta}$
(3) $v_B = \sqrt{2gl}$
(4) $T = 3mg$

補足：一般の角度 $\theta_0$ から放した場合

角度 $\theta_0$ から放した場合、最下点での速さは：

$$v_B = \sqrt{2gl(1 - \cos\theta_0)}$$

最下点での張力は：

$$T = mg + \frac{mv_B^2}{l} = mg(1 + 2(1 - \cos\theta_0)) = mg(3 - 2\cos\theta_0)$$

今回 $\theta_0 = 90°$ なので $\cos\theta_0 = 0$ より $T = 3mg$。

数値計算：質量 $m = 2.0$ kg、加速度 $a = 3.0$ m/s² のとき：

$$F = ma = 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ N}$$ $$W = mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6 \text{ N}$$

Point

振り子の典型問題：(1) エネルギー保存で速さを求め、(2) 円運動の式で張力を求める。水平からの放出では最下点の張力は $T = 3mg$。一般式 $T = mg(3 - 2\cos\theta_0)$ を覚えておくと便利。

編末問題76 力学的エネルギーの保存則