解説

(1) 伸び 0.20 m のときの弾性エネルギー \(U_1\)

弾性エネルギーの公式 $U = \frac{1}{2}kx^2$ に $k = 10$ N/m、$x_1 = 0.20$ m を代入：

$$U_1 = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.20^2 = 5.0 \times 0.040 = 0.20\;\text{J}$$

(2) 伸び 0.40 m のときの弾性エネルギー \(U_2\) と仕事 \(W\)

さらに 0.20 m 引き伸ばすと、合計の伸びは $x_2 = 0.20 + 0.20 = 0.40$ m：

$$U_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.40^2 = 5.0 \times 0.16 = 0.80\;\text{J}$$

ばねを 0.20 m から 0.40 m まで引き伸ばすのに要した仕事は、弾性エネルギーの変化に等しい：

$$W = U_2 - U_1 = 0.80 - 0.20 = 0.60\;\text{J}$$

補足：なぜ仕事は \(U_2 - U_1\) か

ばねを \(x_1\) から \(x_2\) まで伸ばす仕事は：

$$W = \int_{x_1}^{x_2} kx \, dx = \frac{1}{2}kx_2^2 - \frac{1}{2}kx_1^2 = U_2 - U_1$$

0 から 0.20 m まで伸ばす仕事（0.20 J）より、0.20 m から 0.40 m まで伸ばす仕事（0.60 J）の方が大きい。これはばねが伸びるほど復元力が大きくなるため、同じ長さを伸ばすのにより大きな力が必要だからです。