問題64 力学的エネルギーの保存

解説

直感的理解
振り子が下がるとき、位置エネルギーが運動エネルギーに変わります。最下点では位置エネルギーが最小で、速さが最大になります。また最下点では円運動をしているので、向心力の式から張力が求まります。

(1) 最下点の速さ \(v\)

最下点を基準として力学的エネルギー保存則：

高さ \(h = L(1 - \cos 30°)\)：

(2) 最下点での張力 \(T\)

最下点では円運動の運動方程式（上向き正）：

答え：
(1) \(v \fallingdotseq 1.6\) m/s
(2) \(T \fallingdotseq 12\,m\) N（\(m\) は質量）
別解：\(v^2\) を代入する方法

\(v^2 = 2gL(1 - \cos 30°)\) を直接代入：

$$T = mg + \frac{m \cdot 2gL(1 - \cos 30°)}{L} = mg + 2mg(1 - \cos 30°)$$ $$= mg(1 + 2 - 2\cos 30°) = mg(3 - 2\cos 30°)$$ $$= m \times 9.8 \times (3 - \sqrt{3}) = m \times 9.8 \times 1.268 \fallingdotseq 12\,m \text{ [N]}$$
Point

振り子の最下点：エネルギー保存 \(mgh = \frac{1}{2}mv^2\) で速さを求め、円運動の式 \(T - mg = \frac{mv^2}{L}\) で張力を求める。2つの式を組み合わせるのが典型パターン。