問題67 保存力以外の力の仕事

解説

直感的理解
粗い床ABでは摩擦力で力学的エネルギーが減り、なめらかな斜面BCでは力学的エネルギーが保存されます。AでのエネルギーからAB間の摩擦損を引いたものが、Cでのエネルギーになります。Cでちょうど止まれば、残った運動エネルギーがすべて位置エネルギーに変わります。

(1) A→B の摩擦力がした仕事 \(W\)

摩擦力 \(f = \mu' mg\) が距離 \(S\) にわたって運動と逆向きにはたらく：

(2) 点Bでの速さ

A→B に仕事と運動エネルギーの定理を適用：

(3) 最高点Cの高さ \(h\)

B→C はなめらかなので力学的エネルギー保存。Cで速さ0とすると：

答え：
(1) \(W = -\mu' mgS\)
(2) \(v_B = \sqrt{v_0^2 - 2\mu' gS}\)
(3) \(h = \dfrac{v_0^2 - 2\mu' gS}{2g}\)
別解：A→C を一括で考える方法

A→C に対して、保存力以外の力の仕事 = 力学的エネルギーの変化：

$$-\mu' mgS = (mgh + 0) - (0 + \frac{1}{2}mv_0^2)$$ $$mgh = \frac{1}{2}mv_0^2 - \mu' mgS$$ $$h = \frac{v_0^2}{2g} - \mu' S$$

これは上で求めた結果と一致します。

Point

区間ごとに分けて考える：摩擦のある区間では \(W_{摩擦} = -\mu' mgd\)、なめらかな区間ではエネルギー保存。全体を一括で「保存力以外の仕事 = ΔE」としてもOK。