編末問題91 熱量の保存

解説

直感的理解
2 つの物体を接触させると、高温物体から低温物体へ熱が移動し、やがて同じ温度になります。平衡温度は各物体の質量と比熱に依存し、「熱容量が大きい方」に近い温度になります。

(1) 熱量保存の式

A（質量 $m_A$、比熱 $c_A$、初温 $T_A$）が失った熱 = B（質量 $m_B$、比熱 $c_B$、初温 $T_B$）が得た熱：

$$ m_A c_A (T_A - T) = m_B c_B (T - T_B) $$

(2) 平衡温度 $T$

上式を $T$ について解くと：

$$ m_A c_A T_A - m_A c_A T = m_B c_B T - m_B c_B T_B $$ $$ (m_A c_A + m_B c_B) T = m_A c_A T_A + m_B c_B T_B $$ $$ T = \frac{m_A c_A T_A + m_B c_B T_B}{m_A c_A + m_B c_B} $$
答え：
(1) \(m_A c_A (T_A - T) = m_B c_B (T - T_B)\)
(2) \(T = \dfrac{m_A c_A T_A + m_B c_B T_B}{m_A c_A + m_B c_B}\)
補足：熱容量による加重平均

平衡温度の式は「熱容量 \(mc\) を重みとする加重平均」です。熱容量が大きい物体ほど温度変化が小さく、平衡温度はその物体の初期温度に近くなります。

数値計算：質量 \(m = 0.50\) kg、比熱 \(c = 4200\) J/(kg·K)、温度変化 \(\Delta T = 10\) K のとき：

$$Q = mc\Delta T = 0.50 \times 4200 \times 10 = 21000 \text{ J}$$ $$= 21 \text{ kJ}$$
Point

2 物体の熱平衡温度：\(T = \dfrac{m_A c_A T_A + m_B c_B T_B}{m_A c_A + m_B c_B}\)。同じ物質なら比熱が消えて質量の加重平均になる。