問題78 熱量の保存

解説

直感的理解
温度が異なる同じ物質（水）を混ぜると、高温側が冷え、低温側が温まり、やがて中間の温度で一致します。質量が多い方に温度は偏ります（130 g の方が多いので、23.5 ℃ は 30 に近い側にシフト）。

解法

高温水（$130$ g, $30$ ℃）が失った熱量 = 低温水（$100$ g, $15$ ℃）が得た熱量。混合温度を $t$ ℃ とすると：

$$ m_1 c (T_1 - t) = m_2 c (t - T_2) $$

水の比熱 $c$ は共通なので消去でき：

$$ 130 \times (30 - t) = 100 \times (t - 15) $$ $$ 3900 - 130t = 100t - 1500 $$ $$ 5400 = 230t $$ $$ t = \frac{5400}{230} \fallingdotseq 23.5 \;\text{℃} $$
答え： \(t \fallingdotseq 23\) ℃（有効数字2桁で 24 ℃）
別解：加重平均で考える

同じ物質どうしの混合では、混合温度は質量による加重平均になります：

$$t = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2} = \frac{130 \times 30 + 100 \times 15}{130 + 100} = \frac{3900 + 1500}{230} = \frac{5400}{230} \fallingdotseq 23.5 \text{ ℃}$$
Point

同じ物質の混合温度は質量の加重平均：\(t = \dfrac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}\)。比熱が共通なので消去できる。