例題34 縦波

解説

直感的理解
縦波は媒質が波の進行方向に振動します。横波表示の「傾き」が密度の変化に対応します。傾きが負（右下がり）の部分が「密」、正（右上がり）の部分が「疎」です。山・谷は密でも疎でもなく、振動の速さが最大の場所です。

Step 1：密と疎の判定

横波表示において、変位の \(x\) 方向の傾き \(\frac{\partial y}{\partial x}\) が：

横波表示の傾きが最も急に右下がりの点が最も密、最も急に右上がりの点が最も疎です。

Step 2：振動の速度

山と谷は振動の折り返し点なので、振動の速度は 0 です。変位 0 の位置を通過中の媒質は、振動速度が最大になります。

正の向きに進む波の場合、変位 0 で傾きが負（密の位置）では速度が正で最大です。

数値計算：縦波 \(\lambda=1.0\) m、\(v=340\) m/s：

$$f = v/\lambda = 340/1.0 = 340 \text{ Hz}$$ $$\text{密の間隔 = 疎の間隔 = } \lambda = 1.0 \text{ m}$$ $$\text{変位0の位置 → 密・疎}$$
答え：
(1) 最も密な点：横波表示の変位 0 で右下がりの点（A, E）
(2) 最も疎な点：横波表示の変位 0 で右上がりの点（C）
(3) 振動の速度が 0 の点：山・谷の位置（B, D）
(4) 振動の速度が正で最大の点：密の位置で正の向きに進む波の場合、O, B, D
(5) 山の位置は密でも疎でもなく、振動速度最大の点
別解：微分を使った判定

縦波の変位を \(\xi(x, t)\) とすると、密度変化は \(-\frac{\partial \xi}{\partial x}\) に比例します。

\(-\frac{\partial \xi}{\partial x} > 0\) のとき密、\(< 0\) のとき疎です。

Point

縦波の横波表示：傾き負 → 密、傾き正 → 疎。山・谷は密でも疎でもなく、振動の折り返し点（速度 0）。