解説

Step 1：定在波の腹の位置

波 a と b の合成：

$$ y = y_a + y_b = 2A\sin(kx)\cos(\omega t) $$

$\sin(kx) = \pm 1$ となる位置が腹。$k = 2\pi/\lambda = 2\pi/4.0$ より：

$$ kx = \frac{\pi}{2}, \;\frac{3\pi}{2}, \;\frac{5\pi}{2}, \;\ldots $$ $$ x = \frac{\lambda}{4}, \;\frac{3\lambda}{4}, \;\frac{5\lambda}{4} = 1.0, \;3.0, \;5.0 \;\text{cm} $$

Step 2：変位最大の時刻

$\cos(\omega t) = \pm 1$ のとき変位が最大。周期 $T$ を求めると：

$$ T = \frac{\lambda}{v} $$

$t = 0$ で $\cos(0) = 1$ なので、すでに最大。次に最大になるのは $t = T/2$（$\cos(\omega t) = -1$）。

補足：節の位置

\(\sin(kx) = 0\) となる位置が節です。\(x = 0, 2.0, 4.0, 6.0\) cm が節になります。節と腹の間隔は \(\lambda/4 = 1.0\) cm です。

数値計算：振動数 \(f = 5.0\) Hz、波長 \(\lambda = 0.40\) m のとき：

$$v = f\lambda = 5.0 \times 0.40 = 2.0 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5.0} = 0.20 \text{ s}$$