直感的理解

正弦波が連続的に端に到達すると、反射波と重なって定在波が形成されます。自由端では端が腹になり、固定端では端が節になります。時間が経つと定在波の領域が広がっていきます。

Step 1：基本量の確認

波長 $\lambda = 4.0$ cm、波速 $v = 1.0$ cm/s です。定在波の腹と節の間隔は：

$$ \frac{\lambda}{4} = \frac{4.0}{4} = 1.0\;\text{cm} $$

Step 2：自由端の場合

自由端では反射波は入射波と同位相で反射します。入射波と反射波の重ね合わせにより定在波が形成され、端は腹（最大振幅 $2A$）になります。入射波 $y_i$ と反射波 $y_r$ の合成は：

$$ y = y_i + y_r = 2A\cos(kx')\sin(\omega t) $$

ここで $x'$ は端からの距離です。端（$x' = 0$）で $\cos 0 = 1$ → 腹、$x' = \lambda/4$ で $\cos(\pi/2) = 0$ → 節となります。

Step 3：固定端の場合

固定端では反射波は入射波と逆位相で反射します。合成波は：

$$ y = y_i + y_r = 2A\sin(kx')\cos(\omega t) $$

端（$x' = 0$）で $\sin 0 = 0$ → 節、$x' = \lambda/4$ で $\sin(\pi/2) = 1$ → 腹となります。

答え：
(1) 自由端：端ABが腹。端から $\lambda/4 = 1.0$ cm ごとに節と腹が交互に現れる。
(2) 固定端：端ABが節。端から $\lambda/4 = 1.0$ cm ごとに腹と節が交互に現れる。

補足：定在波の形成過程

反射が始まった直後は、反射波が届いた領域だけに定在波ができます。時間が経つにつれて定在波の領域が壁から離れる方向に広がっていきます。

Point

正弦波の反射で定在波が形成される。自由端 → 端が腹、固定端 → 端が節。定在波の腹と節の間隔は $\lambda/4$。

問題107 正弦波の反射