編末問題119 気柱の振動

解法の全体像

直感的理解
ピストンで片方を塞いだ管に音を送ると、管口（腹）とピストン面（節）で定在波ができます。ピストンをゆっくり引いていくと、管内にちょうど定在波がきれいに収まる長さごとに「ボーッ」と共鳴します。この共鳴条件から波長・音速・開口端補正をすべて求められます。

ガラス管の一方にピストン（閉端）、もう一方が管口（開端）になっている閉管の気柱共鳴の問題です。 閉端は音波の変位の節、開端は変位の腹になり、共鳴は $l + \varDelta l = \dfrac{\lambda}{4},\ \dfrac{3\lambda}{4},\ \dfrac{5\lambda}{4},\ \ldots$ のときに起こります。

気柱共鳴のシミュレーション

スライダーでピストンの位置 $l$ を変えると、閉管内に立つ定在波（変位）が表示されます。管口（左端）付近が腹、ピストン面が節になるときに共鳴が起こります。再生ボタンで定在波の振動の様子も確認できます。

数値計算：閉管の基本振動（この問題の値）：

$$\lambda = 60.0\,\text{cm} = 0.600\,\text{m},\quad v = 342\,\text{m/s}$$ $$f_1 = \frac{v}{\lambda} = \frac{342}{0.600} = 570\,\text{Hz}$$ $$f_3 = 3f_1 = 1710\,\text{Hz}$$
閉管の共鳴条件
管口（開端）が腹、ピストン（閉端）が節になるため、 $$ l + \varDelta l = \frac{(2n - 1)}{4}\lambda \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots) $$ すなわち $\dfrac{\lambda}{4},\ \dfrac{3\lambda}{4},\ \dfrac{5\lambda}{4},\ \ldots$ のとき共鳴する。

(1)(a) 1回目の共鳴のとき $l + \varDelta l$ は波長の何倍か

直感的理解
閉管で最初に共鳴するのは、管内に「腹1つ＋節1つ」の最小パターンが収まるときです。これは波1個分の4分の1（$\lambda/4$）にあたります。ピストンが節、管口が腹で、その間が $\lambda/4$ になるイメージです。

考え方

閉管で最初に共鳴が起こるのは、管内に定在波の腹と節が1組だけできるときです。このとき管の有効長（$l + \varDelta l$）には波長の $\dfrac{1}{4}$ が収まっています。

1回目の共鳴（基本振動）では、管の有効長に $\dfrac{\lambda}{4}$ が収まるので

答え：
$l + \varDelta l$ は音の波長の $\dfrac{1}{4}$ 倍（$\dfrac{\lambda}{4}$）に相当する。
補足：開管と閉管

閉管は奇数倍振動のみ。開管は全倍振動。\(\Delta l \fallingdotseq 0.6r\)。

Point

閉管では開端が腹・閉端が節になるため、最初の共鳴は $l + \varDelta l = \dfrac{\lambda}{4}$ のとき。

(1)(b) 1回目と2回目の共鳴から波長を求める

直感的理解
1回目の共鳴から2回目の共鳴に移るとき、管の中に定在波の「腹＋節」がもう1セット追加されます。その分だけ管長が伸びた量がちょうど $\lambda/2$。開口端補正は引き算で消えるので、管長の差だけで波長がわかります。

考え方

1回目の共鳴と2回目の共鳴では、管内の定在波の腹と節の数が1組分増えます。したがって管長の差は $$ l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2} $$ という関係があります。これは開口端補正 $\varDelta l$ が打ち消し合うため、$l$ の差だけで波長が求まる便利な式です。

1回目の共鳴のときの管長 $l_1 = 13.7$ cm、2回目のときの管長 $l_2 = 43.7$ cm なので $$ l_2 - l_1 = 43.7 - 13.7 = 30.0 \text{ cm} $$ これが $\dfrac{\lambda}{2}$ に等しいから $$ \frac{\lambda}{2} = 30.0 \text{ cm} $$

答え：
$$ \lambda = 60.0 \text{ cm} = 0.600 \text{ m} $$
Point

連続する共鳴の管長差 $l_2 - l_1 = \dfrac{\lambda}{2}$ は、開口端補正 $\varDelta l$ に依存せず波長が求まる重要公式。

(1)(c) 音の速さと開口端補正 $\varDelta l$

直感的理解
波長がわかったら $v = f\lambda$ で音速が出ます。開口端補正は「管口から腹の本当の位置までのはみ出し」なので、1回目の共鳴条件 $l_1 + \Delta l = \lambda/4$ から逆算するだけです。

考え方

音の速さは $v = f\lambda$ で求まります。開口端補正 $\varDelta l$ は、1回目の共鳴条件 $$ l_1 + \varDelta l = \frac{\lambda}{4} $$ に既知の値を代入して求めます。

音の速さ：振動数 $f = 570$ Hz、波長 $\lambda = 0.600$ m なので $$ v = f\lambda = 570 \times 0.600 = 342 \text{ m/s} $$

開口端補正：1回目の共鳴で $l_1 + \varDelta l = \dfrac{\lambda}{4}$ だから $$ 13.7 + \varDelta l = \frac{60.0}{4} = 15.0 $$ $$ \varDelta l = 15.0 - 13.7 = 1.3 \text{ cm} $$

検算：2回目の共鳴で確認

2回目の共鳴条件は $l_2 + \varDelta l = \dfrac{3\lambda}{4}$ なので $$ 43.7 + 1.3 = 45.0 \text{ cm},\quad \frac{3 \times 60.0}{4} = 45.0 \text{ cm} \quad \checkmark $$ 一致するので正しいことが確認できます。

答え：
音の速さ $v = 342$ m/s、開口端補正 $\varDelta l = 1.3$ cm
Point

$v = f\lambda$ で音速を求めた後、1回目の共鳴条件 $l_1 + \varDelta l = \dfrac{\lambda}{4}$ から $\varDelta l$ を求める。2回目の共鳴条件 $l_2 + \varDelta l = \dfrac{3\lambda}{4}$ で検算するとよい。

(2) 3回目の共鳴のとき $l + \varDelta l$ は波長の何倍か

直感的理解
閉管では $\lambda/4$ の奇数倍（$\lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$）のときだけ共鳴します。3回目なので3番目の奇数 $5$ を使い、$5\lambda/4$ です。偶数倍では管口と閉端の境界条件が合わないので共鳴しません。

考え方

閉管の共鳴条件は $l + \varDelta l = \dfrac{(2n-1)}{4}\lambda$ なので、$n = 1, 2, 3$ でそれぞれ $\dfrac{\lambda}{4},\ \dfrac{3\lambda}{4},\ \dfrac{5\lambda}{4}$ です。

3回目の共鳴は $n = 3$ にあたるので $$ l + \varDelta l = \frac{(2 \times 3 - 1)}{4}\lambda = \frac{5}{4}\lambda $$

このときの管長は $l = \dfrac{5\lambda}{4} - \varDelta l = \dfrac{5 \times 60.0}{4} - 1.3 = 75.0 - 1.3 = 73.7$ cm です。

答え：
$l + \varDelta l$ は波長の $\dfrac{5}{4}$ 倍に相当する。
Point

閉管の共鳴は $n$ 回目で $l + \varDelta l = \dfrac{(2n-1)}{4}\lambda$。奇数倍の $\dfrac{\lambda}{4}$ のときだけ共鳴が起こる（偶数倍は起こらない）。

(3) 振動数を下げたときに共鳴が起こる振動数

直感的理解
管長を固定して振動数を変えると、波長 $\lambda = v/f$ が変わります。管の有効長に $\lambda/4$ の奇数倍がぴったり入る振動数でだけ共鳴します。共鳴振動数を全部列挙し、出発点より低い中で最大のものを選べばOKです。

考え方

今度は管長を固定して振動数を変える問題です。音速 $v = 360$ m/s、管の有効長 $l + \varDelta l = 45.0$ cm $= 0.450$ m が一定で、振動数を $570$ Hz からゆっくり下げていきます。

共鳴条件は同じく $l + \varDelta l = \dfrac{(2n-1)}{4}\lambda$ ですが、$\lambda = \dfrac{v}{f}$ なので振動数に書き直すと $$ l + \varDelta l = \frac{(2n-1)}{4} \cdot \frac{v}{f} $$ これを $f$ について解くと $$ f = \frac{(2n-1)\,v}{4(l + \varDelta l)} $$ 値を代入すると $$ f = \frac{(2n-1) \times 360}{4 \times 0.450} = (2n-1) \times 200 \text{ Hz} $$

各 $n$ での共鳴振動数は

振動数を $570$ Hz からゆっくりと下げていくので、$570$ Hz 以下で最初に出会う共鳴振動数を探します。 $n = 2$ の $600$ Hz は出発点の $570$ Hz より大きいので到達できず、$n = 1$ の $200$ Hz が共鳴の起こる振動数です。

答え：
$$ f = 200 \text{ Hz} $$
Point

管長を固定して振動数を変える場合も、共鳴条件 $l + \varDelta l = \dfrac{(2n-1)\lambda}{4}$ を $f = \dfrac{(2n-1)\,v}{4(l + \varDelta l)}$ と書き直す。$n = 1, 2, 3, \ldots$ を代入し、指定範囲にある振動数を選ぶ。