解説

Step 1：波長を求める

弦の両端は固定端（節）。腹が3個の定在波では $L = 3 \times \lambda/2$ なので：

$$ \lambda = \frac{2L}{3} = \frac{2 \times 0.90}{3} = 0.60 \;\text{m} $$

Step 2：波の速さを求める

$$ V = f\lambda = 4.0 \times 10^2 \times 0.60 = 240 \;\text{m/s} $$

Step 3：(2) 腹が3個の場合のABの長さ

腹が3個の定在波を生じさせるには：

（注：問題文では元々腹が3個のとき L=0.90m としており、この条件自体がそのまま答えとなる。もし別の腹の数を問われている場合は、\(l = m \times \dfrac{\lambda}{2}\) で計算する。）

教科書の解法に従い、振動数 \(f = 4.0 \times 10^2\) Hz は変わらず、波の速さも弦の性質で決まるため \(V = 240\) m/s のまま。

腹を3個にするには \(l = 3 \times 0.30 = 0.90\) m（もともとの条件と同じ）。

腹が \(m\) 個の場合は一般に \(l = m \times 0.30\) m。

補足：弦の固有振動数

弦の m 倍振動の振動数は \(f_m = \dfrac{m}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}\) で与えられます。ここで S は弦の張力、\(\rho\) は線密度です。

基本振動（m=1）の波長は \(\lambda_1 = 2L\)、m倍振動の波長は \(\lambda_m = \dfrac{2L}{m}\) です。

数値計算：振動数 \(f = 5.0\) Hz、波長 \(\lambda = 0.40\) m のとき：

$$v = f\lambda = 5.0 \times 0.40 = 2.0 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5.0} = 0.20 \text{ s}$$