解説

Step 1：波長を求める

1回目と2回目の共鳴での気柱の長さの差は半波長 \(\dfrac{\lambda}{2}\) に等しいので：

$$ \frac{\lambda}{2} = l_2 - l_1 = 56.2 - 16.4 = 39.8 \text{ cm} $$ $$ \therefore\; \lambda = 2 \times 39.8 = 79.6 \text{ cm} = 0.796 \text{ m} $$

Step 2：(1) 開口端補正を求める

1回目の共鳴では \(l_1 + \Delta l = \dfrac{\lambda}{4}\) なので：

$$ \Delta l = \frac{\lambda}{4} - l_1 = \frac{79.6}{4} - 16.4 = 19.9 - 16.4 = 3.5 \text{ cm} $$

検算（2回目）：\(l_2 + \Delta l = 56.2 + 3.5 = 59.7\) cm、\(\dfrac{3\lambda}{4} = \dfrac{3 \times 79.6}{4} = 59.7\) cm ✔

Step 3：(2) 管口の腹の位置

腹は管の上端から \(\Delta l\) だけ上にあるので：

$$ \text{腹の位置} = \text{管の上端より } \Delta l = 3.5 \text{ cm 上方} $$

補足：開口端補正とは

実際の管では、開口端での音波の腹は管口のわずかに外側に位置します。この管口から腹までの距離を開口端補正 \(\Delta l\) といいます。

開口端補正は管の半径 \(r\) にほぼ比例し、\(\Delta l \fallingdotseq 0.6r\) が経験則です。