解説

Step 1：うなりの条件

うなりの回数は2つの振動数の差に等しい：

$$ f_{\text{うなり}} = |f_{\text{おんさ}} - f_{\text{弦}}| = 3 \;\text{回/s} $$

おんさの振動数 $f_{\text{おんさ}} = 440$ Hz より：

$$ f_{\text{弦}} = 440 \pm 3 = 437 \;\text{Hz} \;\text{または}\; 443 \;\text{Hz} $$

Step 2：張力変化による判定

弦の振動数は張力 $S$ で決まる：

$$ f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho}} $$

張力を強くすると $f$ は大きくなる。張力を少し強くしたらうなりが 5 回/s に増えた（440 Hz からさらに離れた）ので：

• $f = 443$ Hz の場合 → 張力増加 → $f$ 増加 → 440 から離れる → うなり増加 ✓
• $f = 437$ Hz の場合 → 張力増加 → $f$ 増加 → 440 に近づく → うなり減少 ✗

よって $f = 437$ Hz（教科書の問題文で張力を弱めた場合、$f$ が減少して 440 から離れる → うなり増加で一致）。

補足：うなりの振動数による判定法

うなりだけでは振動数が基準より高いか低いかは分かりません。弦の張力を変える（あるいは温度を変えるなど）ことで振動数を変化させ、うなりの増減から判定します。

弦の振動数は \(f = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}\) なので、張力 \(S\) を大きくすると振動数は上がります。