直感的理解

弦の両端は固定端（節）です。m倍振動では弦上に m 個の腹ができ、弦の長さ $L$ は半波長の m 倍になります。つまり $L = m \cdot \dfrac{\lambda}{2}$ から波長は $\lambda = \dfrac{2L}{m}$ です。

弦の固有振動の波長

弦の両端が節なので、m倍振動では：

基本振動（m = 1）：

3倍振動（m = 3）：

5倍振動（m = 5）：

答え：
$\lambda_1 = 1.20$ m、$\lambda_3 = 0.40$ m、$\lambda_5 = 0.24$ m

補足：弦のm倍振動の振動数

弦を伝わる波の速さを $V$ とすると、m倍振動の振動数は：

$$f_m = \frac{V}{\lambda_m} = \frac{mV}{2L} = m f_1$$

すなわち、m倍振動の振動数は基本振動数の m 倍です。

数値計算：振動数 $f = 5.0$ Hz、波長 $\lambda = 0.40$ m のとき：

$$v = f\lambda = 5.0 \times 0.40 = 2.0 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5.0} = 0.20 \text{ s}$$

Point

弦の定在波：m倍振動の波長は $\lambda_m = \dfrac{2L}{m}$。基本振動が最も波長が長く、倍振動の次数が上がるほど波長は短くなる。

問題112 弦の振動