解説

直感的理解

弦の両端が節（固定端）なので、腹が m 個のとき $L = m \cdot \dfrac{\lambda}{2}$ です。波の速さは弦の性質（張力と線密度）で決まるため、振動数を変えても速さは変わりません。振動数を上げると波長が短くなり、腹の数が増えます。

(1) 波長を求める

PQ間の長さ $L = 1.2$ m に腹が3個あるので $L = 3 \times \dfrac{\lambda}{2}$：

$$ \lambda = \frac{2L}{3} = \frac{2 \times 1.2}{3} = 0.80 \text{ m} $$

(2) 波の速さ

振動数 $f = 120$ Hz のとき：

$$ V = f\lambda = 120 \times 0.80 = 96 \text{ m/s} $$

4個の腹のときの振動数

波の速さ $V = 96$ m/s は弦の性質で決まるため変わらない。腹4個のとき $L = 4 \times \dfrac{\lambda'}{2}$ より：

$$ \lambda' = \frac{2L}{4} = \frac{2 \times 1.2}{4} = 0.60 \text{ m} $$ $$ f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{96}{0.60} = 160 \text{ Hz} = 1.6 \times 10^2 \text{ Hz} $$

答え：
(1) $\lambda = 0.80$ m
(2) $V = 96$ m/s
4個の腹：$f = 1.6 \times 10^2$ Hz

別解：振動数の比から求める

m倍振動の振動数 $f_m = m f_1$ なので、3倍振動で120Hzなら基本振動数は $f_1 = 40$ Hz。4倍振動は $f_4 = 4 \times 40 = 160$ Hz。

Point

弦の速さは張力と線密度で決まるため、振動数を変えても一定。m倍振動：$\lambda_m = \dfrac{2L}{m}$、$f_m = m f_1$。

問題113 弦の振動

解説