問題114 気柱の振動

解説

直感的理解
閉管は一端が閉(節)、他端が開(腹)なので、奇数倍振動のみ生じます。基本振動で \(L = \dfrac{\lambda}{4}\)。
開管は両端が開(腹)なので、すべての整数倍振動が生じます。基本振動で \(L = \dfrac{\lambda}{2}\)。

閉管の場合

閉管では奇数倍振動のみ。基本振動(1倍振動):

3倍振動:

(検算:\(f_3 = 3 f_1 = 3 \times 70.8 = 212.5\) Hz ✓)

開管の場合

開管ではすべての整数倍振動。基本振動:

3倍振動:

答え:
閉管:基本振動 \(f_1 \fallingdotseq 71\) Hz、3倍振動 \(f_3 \fallingdotseq 213\) Hz
開管:基本振動 \(f_1 \fallingdotseq 142\) Hz、3倍振動 \(f_3 = 425\) Hz
補足:閉管と開管の違い

閉管は奇数倍(1, 3, 5, ...)の振動のみ。開管はすべての整数倍(1, 2, 3, ...)の振動が生じます。

同じ長さなら開管の基本振動数は閉管の2倍になります:閉管 \(f_1 = \dfrac{V}{4L}\)、開管 \(f_1 = \dfrac{V}{2L}\)。

数値計算:振動数 \(f = 5.0\) Hz、波長 \(\lambda = 0.40\) m のとき:

$$v = f\lambda = 5.0 \times 0.40 = 2.0 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5.0} = 0.20 \text{ s}$$
Point

閉管: $$ f_m = \dfrac{mV}{4L} $$ (m = 1, 3, 5, ...)。開管:\(f_m = \dfrac{mV}{2L}\)(m = 1, 2, 3, ...)。開口端補正がある場合は \(L\) を \(L + \Delta l\) に置き換える。